Номер 2.21, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.21. Каждый сотрудник Министерства внутренних дел владеет, по крайней мере, одним иностранным языком (английским, немецким или французским). Из них 10 владеют английским языком, 6 – немецким, 4 – французским, 4 – и английским, и немецким, 3 – и английским, и французским, 2 – и немецким, и французским, а один сотрудник владеет всеми тремя языками. Сколько:

1) сотрудников работают в отделе;

2) сотрудников владеют только одним иностранным языком?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств. Обозначим множества сотрудников, владеющих языками, следующим образом:

• $А$ – множество сотрудников, владеющих английским языком.

• $Н$ – множество сотрудников, владеющих немецким языком.

• $Ф$ – множество сотрудников, владеющих французским языком.

Из условия задачи нам известны мощности (количества элементов) этих множеств и их пересечений:

• $|А| = 10$

• $|Н| = 6$

• $|Ф| = 4$

• $|А \cap Н| = 4$ (владеют английским и немецким)

• $|А \cap Ф| = 3$ (владеют английским и французским)

• $|Н \cap Ф| = 2$ (владеют немецким и французским)

• $|А \cap Н \cap Ф| = 1$ (владеют всеми тремя языками)

1) сотрудников работают в отделе;

Поскольку каждый сотрудник владеет по крайней мере одним иностранным языком, общее число сотрудников в отделе равно количеству элементов в объединении трех множеств: $|А \cup Н \cup Ф|$.

Для нахождения этой величины используем формулу включений-исключений для трех множеств:

$|А \cup Н \cup Ф| = |А| + |Н| + |Ф| - (|А \cap Н| + |А \cap Ф| + |Н \cap Ф|) + |А \cap Н \cap Ф|$

Подставим известные значения в формулу:

$|А \cup Н \cup Ф| = 10 + 6 + 4 - (4 + 3 + 2) + 1$

$|А \cup Н \cup Ф| = 20 - 9 + 1 = 12$

Таким образом, всего в отделе работает 12 сотрудников.

Ответ: 12

2) сотрудников владеют только одним иностранным языком?

Чтобы найти количество сотрудников, владеющих только одним языком, нужно для каждого языка вычесть тех, кто владеет этим языком в комбинации с другими. Удобнее всего это сделать с помощью диаграммы Венна, последовательно заполняя количество людей в каждой области, начиная с центрального пересечения.

1. Владеют всеми тремя языками ($А \cap Н \cap Ф$): По условию это 1 сотрудник.

2. Владеют только английским и немецким: Всего английским и немецким владеют 4 человека, но 1 из них владеет еще и французским. Значит, только этими двумя языками владеют $4 - 1 = 3$ сотрудника.

3. Владеют только английским и французским: Аналогично, $3 - 1 = 2$ сотрудника.

4. Владеют только немецким и французским: Аналогично, $2 - 1 = 1$ сотрудник.

Теперь можем рассчитать количество сотрудников, владеющих только одним языком:

• Только английским: Из 10 человек, владеющих английским, вычитаем всех, кто владеет также другими языками: $10 - (\text{только А и Н}) - (\text{только А и Ф}) - (\text{все три}) = 10 - 3 - 2 - 1 = 4$ сотрудника.

• Только немецким: Из 6 человек, владеющих немецким, вычитаем: $6 - (\text{только А и Н}) - (\text{только Н и Ф}) - (\text{все три}) = 6 - 3 - 1 - 1 = 1$ сотрудник.

• Только французским: Из 4 человек, владеющих французским, вычитаем: $4 - (\text{только А и Ф}) - (\text{только Н и Ф}) - (\text{все три}) = 4 - 2 - 1 - 1 = 0$ сотрудников.

Суммируем полученные значения, чтобы найти общее число сотрудников, владеющих только одним языком:

$4 \text{ (только англ.)} + 1 \text{ (только нем.)} + 0 \text{ (только франц.)} = 5$

Таким образом, 5 сотрудников владеют только одним иностранным языком.

Ответ: 5