Номер 2.28, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.28. Сколько параллелограммов может образоваться в результате пересечения $n$ параллельных прямых с другими $m$ параллельными прямыми?

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Для того чтобы построить параллелограмм в условиях задачи, необходимо выбрать две прямые из одного семейства параллельных прямых и две прямые из другого.

У нас есть два семейства прямых:

• Первое семейство, состоящее из $n$ параллельных прямых.
• Второе семейство, состоящее из $m$ параллельных прямых.

Прямые из разных семейств пересекаются, образуя сетку, как показано на рисунке ниже (для примера $n=4$, $m=4$). Любой параллелограмм в этой сетке однозначно определяется выбором двух прямых из первого семейства и двух прямых из второго.

Задача сводится к подсчету количества способов выбрать эти прямые. Это комбинаторная задача.

1. Найдем количество способов выбрать 2 прямые из первого семейства, в котором $n$ прямых. Так как порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по 2: $C_n^2 = \binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

2. Аналогично, найдем количество способов выбрать 2 прямые из второго семейства, в котором $m$ прямых: $C_m^2 = \binom{m}{2} = \frac{m!}{2!(m-2)!} = \frac{m(m-1)(m-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (m-2)!} = \frac{m(m-1)}{2}$

3. По правилу произведения в комбинаторике, общее количество параллелограммов равно произведению числа способов выбора прямых из каждого семейства, так как выбор пары прямых из первого семейства и выбор пары прямых из второго являются независимыми событиями.

Общее число параллелограммов $N$ вычисляется как: $N = C_n^2 \times C_m^2 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{m(m-1)}{2}$

Ответ: $\frac{n(n-1)m(m-1)}{4}$