Номер 2.30, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.30. Сколькими разными способами можно посадить 8 человек в 2 легковые автомашины так, чтобы в каждой автомашине было не менее 3 человек?

Для решения задачи определим все возможные варианты распределения 8 человек по двум машинам с учетом ограничения, что в каждой машине должно быть не менее 3 человек. Предполагается, что машины различны (например, Машина 1 и Машина 2), поэтому важен не только состав групп, но и то, в какую машину какая группа сядет.

Пусть $n_1$ — количество человек в первой машине, а $n_2$ — во второй. Условия задачи можно записать в виде системы:

1. $n_1 + n_2 = 8$

2. $n_1 \ge 3$

3. $n_2 \ge 3$

Рассмотрим все возможные целочисленные пары $(n_1, n_2)$, удовлетворяющие этим условиям. Перебирая значения для $n_1$:

- Если $n_1 = 3$, то $n_2 = 8 - 3 = 5$. Это удовлетворяет условию $n_2 \ge 3$. Распределение (3, 5).

- Если $n_1 = 4$, то $n_2 = 8 - 4 = 4$. Это удовлетворяет условию $n_2 \ge 3$. Распределение (4, 4).

- Если $n_1 = 5$, то $n_2 = 8 - 5 = 3$. Это удовлетворяет условию $n_2 \ge 3$. Распределение (5, 3).

Если $n_1 \ge 6$, то $n_2 \le 2$, что нарушает условие $n_2 \ge 3$.

Таким образом, существуют три взаимоисключающих варианта распределения людей. Найдем количество способов для каждого варианта и сложим их.

Случай 1: 3 человека в первой машине и 5 во второй

Необходимо выбрать 3 человека из 8 для первой машины. Порядок выбора людей не важен, поэтому используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 3 человека из 8:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

Оставшиеся 5 человек однозначно садятся во вторую машину ($C_5^5 = 1$ способ). Таким образом, для этого случая существует 56 способов.

Случай 2: 4 человека в первой машине и 4 во второй

Необходимо выбрать 4 человека из 8 для первой машины.

Число способов выбрать 4 человека из 8:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Оставшиеся 4 человека садятся во вторую машину. Таким образом, для этого случая существует 70 способов.

Случай 3: 5 человек в первой машине и 3 во второй

Необходимо выбрать 5 человек из 8 для первой машины.

Число способов выбрать 5 человек из 8:

$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

Оставшиеся 3 человека садятся во вторую машину. Таким образом, для этого случая существует 56 способов.

Итоговый подсчет

Общее количество способов равно сумме способов для всех трех рассмотренных случаев, так как они являются взаимоисключающими:

$N_{общ} = 56 + 70 + 56 = 182$

Ответ: 182.