Номер 2.37, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.37. Сколькими способами можно рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглым столом так, чтобы никакие 2 юноши и никакие 2 девушки не сидели рядом?

Условие, что никакие два юноши и никакие две девушки не сидят рядом, означает, что за круглым столом они должны сидеть, чередуясь. То есть, рассадка должна выглядеть как "юноша-девушка-юноша-девушка..." и так далее.

Для нахождения общего числа способов можно сначала рассадить одну группу, например, юношей. Поскольку стол круглый, расположения, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми. Число способов рассадить $n$ различных людей за круглым столом равно $(n-1)!$. Для 5 юношей это составит $(5-1)! = 4!$ способов.

После того как юноши сели, между ними образовалось 5 свободных мест. Эти места уже не равнозначны, так как каждое место уникально определено положением между двумя конкретными юношами. На эти 5 мест нужно рассадить 5 девушек. Так как места различимы, это является линейной перестановкой, и число способов сделать это равно $5!$.На схеме показано, как после рассадки юношей (Ю) появляются определенные места для девушек (Д):

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов рассадки равно произведению числа способов рассадки юношей и числа способов рассадки девушек:$4! \times 5! = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) = 24 \times 120 = 2880$.

Ответ: 2880.