Номер 2.40, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.40. Сколькими способами можно поделить между 4 учениками поровну 12 учебников?

Данная задача решается методами комбинаторики. Требуется найти количество способов разделить 12 различных учебников между 4 учениками поровну. Это означает, что каждый ученик получит по $12 / 4 = 3$ учебника. Поскольку и учебники, и ученики являются различными (различимыми), мы имеем дело с задачей на упорядоченные разбиения множества.

Решение можно найти, последовательно распределяя учебники по ученикам.

Количество способов выбрать 3 учебника из 12 для первого ученика равно числу сочетаний $C_{12}^3$: $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$ способов.

После того как первый ученик получил свои книги, осталось 9 учебников. Количество способов выбрать 3 из них для второго ученика: $C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$ способа.

Далее, для третьего ученика выбираем 3 учебника из оставшихся 6: $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$ способов.

Четвертому ученику достаются оставшиеся 3 учебника, что можно сделать только одним способом: $C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1$ способ.

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов равно произведению числа способов для каждого ученика: $N = C_{12}^3 \cdot C_9^3 \cdot C_6^3 \cdot C_3^3 = 220 \cdot 84 \cdot 20 \cdot 1 = 369600$.

Также можно использовать формулу для числа упорядоченных разбиений (мультиномиальный коэффициент) для множества из 12 элементов на 4 группы по 3 элемента в каждой: $N = \frac{12!}{3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 3!} = \frac{12!}{(3!)^4} = \frac{479001600}{1296} = 369600$.

Ответ: 369600