Номер 2.41, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.41. Нужно поделить 30 учеников на подгруппы по 10 человек для изучения английского, немецкого и французского языков. Сколькими способами это можно сделать?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам необходимо разделить 30 учеников на три именованные группы (для английского, немецкого и французского языков) по 10 человек в каждой. Поскольку группы имеют разное назначение, порядок их формирования важен.

Разобьем процесс на последовательные шаги:

1. Выбор группы для изучения английского языка. Нужно выбрать 10 учеников из 30. Порядок выбора учеников внутри группы не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Количество способов выбрать 10 учеников из 30: $C_{30}^{10} = \frac{30!}{10!(30-10)!} = \frac{30!}{10!20!}$.

2. Выбор группы для изучения немецкого языка. После того как первая группа сформирована, у нас осталось 20 учеников. Из них нужно выбрать 10 человек.

Количество способов выбрать 10 учеников из оставшихся 20: $C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10!10!}$.

3. Выбор группы для изучения французского языка. Осталось 10 учеников, которые и составят последнюю группу. Существует только один способ выбрать 10 человек из 10.

Количество способов: $C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10!0!} = 1$.

Чтобы найти общее количество способов разделения, необходимо перемножить количество способов на каждом шаге (согласно правилу произведения в комбинаторике):

Общее число способов = $C_{30}^{10} \times C_{20}^{10} \times C_{10}^{10}$.

Подставим значения:

$N = \frac{30!}{10!20!} \times \frac{20!}{10!10!} \times 1 = \frac{30!}{10! \cdot 20!} \cdot \frac{20!}{10! \cdot 10!}$.

Сократив $20!$ в числителе и знаменателе, получаем окончательную формулу:

$N = \frac{30!}{10!10!10!}$.

Это выражение известно как полиномиальный коэффициент $\binom{30}{10, 10, 10}$ и представляет собой количество способов разбить множество из 30 элементов на три упорядоченные (различимые) группы по 10 элементов в каждой.

Ответ: $\frac{30!}{10!10!10!}$