Практическая работа, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Первый член $a_1$ последовательности ${a_n}$ равен $\frac{1}{5}$. Каждый следующий член последовательности получается прибавлением двойки как к числителю, так и к знаменателю предыдущего члена.

1) Какой будет последовательность ${a_n}$: возрастающей или убывающей?

2) Определите формулу общего члена последовательности.

3) Полагая, что первый член последовательности $a_1 = \frac{p}{q} > 0$ является правильной (неправильной) дробью и, прибавляя число $r > 0$ к ее числителю и знаменателю, ответьте на вопросы 1) и 2). Обоснуйте ответ.

1) Какой будет последовательность $\{a_n\}$: возрастающей или убывающей?

Выпишем первые несколько членов последовательности:

• $a_1 = \frac{1}{5} = 0,2$
• $a_2 = \frac{1+2}{5+2} = \frac{3}{7} \approx 0,428$
• $a_3 = \frac{3+2}{7+2} = \frac{5}{9} \approx 0,555$

Мы видим, что $a_1 < a_2 < a_3$. Следовательно, последовательность является возрастающей.

Обоснование: При прибавлении положительного числа к числителю и знаменателю правильной положительной дроби, её значение всегда увеличивается, так как относительный прирост числителя больше относительного прироста знаменателя.

2) Определите формулу общего члена последовательности.

Заметим закономерность в числителях и знаменателях:

• Числители: $1, 3, 5, \dots$ — это нечетные числа, которые можно записать как $2n - 1$.
• Знаменатели: $5, 7, 9, \dots$ — это нечетные числа, начинающиеся с 5, их можно записать как $2n + 3$.

Проверим для $n=1$: $a_1 = \frac{2(1)-1}{2(1)+3} = \frac{1}{5}$ (верно).

Формула: $a_n = \frac{2n - 1}{2n + 3}$

3) Обобщение для $a_1 = \frac{p}{q}$ и шага $r > 0$.

Формула общего члена:

На $n$-м шаге мы прибавили число $r$ к числителю и знаменателю $(n-1)$ раз.

$$a_n = \frac{p + r(n-1)}{q + r(n-1)}$$

Исследование на монотонность:

Сравним $a_1 = \frac{p}{q}$ и $a_2 = \frac{p+r}{q+r}$. Найдем разность $a_2 - a_1$:

$$\frac{p+r}{q+r} - \frac{p}{q} = \frac{q(p+r) - p(q+r)}{q(q+r)} = \frac{pq + qr - pq - pr}{q(q+r)} = \frac{r(q-p)}{q(q+r)}$$

Знак разности зависит от выражения $(q-p)$:

1. Если $a_1$ — правильная дробь ($p < q$):
   Тогда $q-p > 0$, разность положительна. Последовательность возрастает.
2. Если $a_1$ — неправильная дробь ($p > q$):
   Тогда $q-p < 0$, разность отрицательна. Последовательность убывает.
3. Если $a_1 = 1$ ($p = q$):
   Тогда $q-p = 0$. Последовательность стационарна (все члены равны 1).