Практическая работа, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Первый член $a_1$ последовательности ${a_n}$ равен $\frac{1}{5}$. Каждый следующий член последовательности получается прибавлением двойки как к числителю, так и к знаменателю предыдущего члена.

1) Какой будет последовательность ${a_n}$: возрастающей или убывающей?

2) Определите формулу общего члена последовательности.

3) Полагая, что первый член последовательности $a_1 = \frac{p}{q} > 0$ является правильной (неправильной) дробью и, прибавляя число $r > 0$ к ее числителю и знаменателю, ответьте на вопросы 1) и 2). Обоснуйте ответ.

1) Какой будет последовательность {$a_n$}: возрастающей или убывающей?

Для того чтобы определить, является ли последовательность {$a_n$} возрастающей или убывающей, найдем несколько ее первых членов.

Первый член по условию: $a_1 = \frac{1}{5}$.

Каждый следующий член получается прибавлением двойки к числителю и знаменателю предыдущего:

$a_2 = \frac{1+2}{5+2} = \frac{3}{7}$

$a_3 = \frac{3+2}{7+2} = \frac{5}{9}$

Сравним значения этих членов: $a_1 = 0.2$, $a_2 = \frac{3}{7} \approx 0.428$, $a_3 = \frac{5}{9} \approx 0.556$.

Так как $a_1 < a_2 < a_3$, можно предположить, что последовательность является возрастающей. Докажем это.

Пусть n-й член последовательности $a_n = \frac{x}{y}$. Тогда следующий член $a_{n+1} = \frac{x+2}{y+2}$.

Рассмотрим разность между последующим и предыдущим членами:

$a_{n+1} - a_n = \frac{x+2}{y+2} - \frac{x}{y} = \frac{y(x+2) - x(y+2)}{y(y+2)} = \frac{xy+2y-xy-2x}{y(y+2)} = \frac{2(y-x)}{y(y+2)}$

Знаменатели членов нашей последовательности образуют ряд $5, 7, 9, \dots$, все они положительны. Следовательно, знаменатель дроби $y(y+2)$ всегда будет положительным. Знак разности $a_{n+1} - a_n$ зависит от знака выражения $(y-x)$.

Для первого члена $a_1 = \frac{1}{5}$ разность между знаменателем и числителем равна $5 - 1 = 4$. При переходе к следующему члену к числителю и знаменателю прибавляется одно и то же число (2), поэтому разность между ними не меняется: $(y+2) - (x+2) = y-x$. Значит, для любого члена последовательности $a_n = \frac{x}{y}$ разность $y-x=4$ является положительной.

Таким образом, $a_{n+1} - a_n = \frac{2(y-x)}{y(y+2)} = \frac{2 \cdot 4}{y(y+2)} = \frac{8}{y(y+2)} > 0$.

Поскольку $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность {$a_n$} является возрастающей.

2) Определите формулу общего члена последовательности.

Чтобы найти формулу для $a_n$, рассмотрим последовательности числителей и знаменателей как отдельные арифметические прогрессии.

Последовательность числителей: $1, 3, 5, 7, \dots$ Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $c_1 = 1$ и разность $d = 2$. Формула n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n-1$.

Последовательность знаменателей: $5, 7, 9, 11, \dots$ Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $z_1 = 5$ и разность $d = 2$. Формула n-го члена: $z_n = z_1 + (n-1)d = 5 + (n-1) \cdot 2 = 5 + 2n - 2 = 2n+3$.

Формула общего члена последовательности {$a_n$} является отношением n-го члена последовательности числителей к n-му члену последовательности знаменателей:

$a_n = \frac{c_n}{z_n} = \frac{2n-1}{2n+3}$

Ответ: $a_n = \frac{2n-1}{2n+3}$.

3) Полагая, что первый член последовательности $a_1 = \frac{p}{q} > 0$ является правильной (неправильной) дробью и, прибавляя число $r > 0$ к ее числителю и знаменателю, ответьте на вопросы 1) и 2). Обоснуйте ответ.

Рассмотрим обобщенный случай, где $a_1 = \frac{p}{q}$ ($p>0, q>0$) и $a_{n+1}$ получается из $a_n$ прибавлением числа $r>0$ к числителю и знаменателю.

Решение для вопроса 1 (монотонность):

Пусть $a_n = \frac{x}{y}$. Тогда $a_{n+1} = \frac{x+r}{y+r}$. Рассмотрим разность:

$a_{n+1} - a_n = \frac{x+r}{y+r} - \frac{x}{y} = \frac{y(x+r) - x(y+r)}{y(y+r)} = \frac{r(y-x)}{y(y+r)}$

Поскольку $p, q, r > 0$, все члены последовательности положительны, и знаменатель $y(y+r) > 0$. Знак разности определяется знаком выражения $y-x$. Разность между знаменателем и числителем остается постоянной для всех членов последовательности и равна $q-p$.

Следовательно, $a_{n+1} - a_n = \frac{r(q-p)}{y(y+r)}$.

Проанализируем знак в зависимости от типа дроби $a_1 = \frac{p}{q}$:

1. Если $a_1 = \frac{p}{q}$ — правильная дробь, то $p < q$, откуда $q-p>0$. В этом случае $a_{n+1} - a_n > 0$, и последовательность возрастает.

2. Если $a_1 = \frac{p}{q}$ — неправильная дробь, то $p \ge q$, откуда $q-p \le 0$.
• Если $p>q$, то $q-p<0$, следовательно $a_{n+1} - a_n < 0$, и последовательность убывает.
• Если $p=q$, то $q-p=0$, следовательно $a_{n+1} - a_n = 0$. Последовательность постоянна (все ее члены равны 1), что является частным случаем невозрастающей (убывающей) последовательности.

Решение для вопроса 2 (формула общего члена):

Числители и знаменатели членов последовательности {$a_n$} образуют арифметические прогрессии с разностью $r$.

Числитель n-го члена: $p_n = p + (n-1)r$.

Знаменатель n-го члена: $q_n = q + (n-1)r$.

Следовательно, формула общего члена имеет вид: $a_n = \frac{p + (n-1)r}{q + (n-1)r}$.

Ответ:
1) Если дробь $a_1 = \frac{p}{q}$ правильная ($p2) Формула общего члена: $a_n = \frac{p+(n-1)r}{q+(n-1)r}$.