Номер 4.42, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.42. Определите четность функции (устно):

1) $y=x^{10};$

2) $y=x^{-2};$

3) $y=\sqrt{x};$

4) $y=\sqrt{x^6};$

5) $y=x^4-2x^2+3;$

6) $y=x^3-5x;$

7) $y=x+\sin x;$

8) $y=x^2-\cos x;$

9) $y=x^5 \cdot \operatorname{tg} x.$

1) $y=x^{10}$

Пусть $f(x) = x^{10}$. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения, функция является четной.
Ответ: четная.

2) $y=x^{-2}$

Пусть $f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$. Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^{-2} = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения, функция является четной.
Ответ: четная.

3) $y=\sqrt{x}$

Пусть $f(x) = \sqrt{x}$. Область определения функции $D(f) = [0; +\infty)$.
Эта область определения не является симметричной относительно начала координат (например, $x=1$ принадлежит области определения, а $x=-1$ — нет). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

4) $y=\sqrt{x^6}$

Пусть $f(x) = \sqrt{x^6}$. Выражение под корнем $x^6 \ge 0$ для всех действительных $x$, поэтому область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Упростим выражение: $f(x) = \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = |(-x)^3| = |-x^3| = |x^3| = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

5) $y=x^4-2x^2+3$

Пусть $f(x) = x^4-2x^2+3$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x)$.
Функция является суммой четных функций ($y=x^4$, $y=-2x^2$, $y=3$), поэтому она также является четной.
Ответ: четная.

6) $y=x^3-5x$

Пусть $f(x) = x^3-5x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 - 5(-x) = -x^3 + 5x = -(x^3 - 5x) = -f(x)$.
Функция является суммой нечетных функций ($y=x^3$ и $y=-5x$), поэтому она также является нечетной.
Ответ: нечетная.

7) $y=x+\sin{x}$

Пусть $f(x) = x+\sin{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x) + \sin(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x) = -f(x)$.
Функция является суммой двух нечетных функций ($y=x$ и $y=\sin x$), поэтому она является нечетной.
Ответ: нечетная.

8) $y=x^2-\cos{x}$

Пусть $f(x) = x^2-\cos{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^2 - \cos(-x) = x^2 - \cos x = f(x)$.
Функция является разностью двух четных функций ($y=x^2$ и $y=\cos x$), поэтому она является четной.
Ответ: четная.

9) $y=x^5 \cdot \text{tg}x$

Пусть $f(x) = x^5 \cdot \text{tg}x$. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, кроме $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^5 \cdot \text{tg}(-x) = (-x^5) \cdot (-\text{tg}x) = x^5 \cdot \text{tg}x = f(x)$.
Функция является произведением двух нечетных функций ($y=x^5$ и $y=\text{tg}x$), поэтому она является четной.
Ответ: четная.