Номер 4.44, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.44. Определите четность функции:

1) $y=(x+3)|x-1|+(x-3)|x+1|;$

2) $y=(x+5)|x-3|-(x-5)|x+3|;$

3) $y=\frac{|x-7|}{x+1}+\frac{|x+7|}{x-1};$

4) $y=\frac{|x-4|}{x+2}+\frac{|x+4|}{x-2};$

5) $f(x)=\frac{x^3-2x^2}{x+1}-\frac{x^3+2x^2}{x-1};$

6) $g(x)=\frac{(x-1)^5}{(3x+4)^3}-\frac{(x+1)^5}{(3x-4)^3}.$

1)

Рассмотрим функцию $y(x) = (x+3)|x-1| + (x-3)|x+1|$.

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = (-x+3)|-x-1| + (-x-3)|-x+1|$

Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, получаем: $|-x-1|=|-(x+1)|=|x+1|$ и $|-x+1|=|-(x-1)|=|x-1|$.

Подставим эти выражения в формулу для $y(-x)$:

$y(-x) = (3-x)|x+1| - (x+3)|x-1| = -(x-3)|x+1| - (x+3)|x-1| = -((x+3)|x-1| + (x-3)|x+1|) = -y(x)$.

Так как выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

2)

Рассмотрим функцию $y(x) = (x+5)|x-3| - (x-5)|x+3|$.

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = (-x+5)|-x-3| - (-x-5)|-x+3|$

Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, получаем: $|-x-3|=|-(x+3)|=|x+3|$ и $|-x+3|=|-(x-3)|=|x-3|$.

Подставим эти выражения в формулу для $y(-x)$:

$y(-x) = (5-x)|x+3| - (-(x+5))|x-3| = -(x-5)|x+3| + (x+5)|x-3| = (x+5)|x-3| - (x-5)|x+3| = y(x)$.

Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

3)

Рассмотрим функцию $y(x) = \left|\frac{x-7}{x+1}\right| + \left|\frac{x+7}{x-1}\right|$.

Область определения функции $D(y)$ задается условиями $x+1 \ne 0$ и $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 1$. Область $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = \left|\frac{-x-7}{-x+1}\right| + \left|\frac{-x+7}{-x-1}\right| = \left|\frac{-(x+7)}{-(x-1)}\right| + \left|\frac{-(x-7)}{-(x+1)}\right|$

Используя свойство модуля $\left|\frac{-a}{-b}\right|=\left|\frac{a}{b}\right|$, получаем:

$y(-x) = \left|\frac{x+7}{x-1}\right| + \left|\frac{x-7}{x+1}\right| = y(x)$.

Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

4)

Рассмотрим функцию $y(x) = \left|\frac{x-4}{x+2}\right| + \left|\frac{x+4}{x-2}\right|$.

Область определения функции $D(y)$ задается условиями $x+2 \ne 0$ и $x-2 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 2$. Область $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = \left|\frac{-x-4}{-x+2}\right| + \left|\frac{-x+4}{-x-2}\right| = \left|\frac{-(x+4)}{-(x-2)}\right| + \left|\frac{-(x-4)}{-(x+2)}\right|$

Используя свойство модуля $\left|\frac{-a}{-b}\right|=\left|\frac{a}{b}\right|$, получаем:

$y(-x) = \left|\frac{x+4}{x-2}\right| + \left|\frac{x-4}{x+2}\right| = y(x)$.

Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

5)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x+1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x-1}$.

Область определения функции $D(f)$ задается условиями $x+1 \ne 0$ и $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 1$. Область $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3 - 2(-x)^2}{-x+1} - \frac{(-x)^3 + 2(-x)^2}{-x-1} = \frac{-x^3 - 2x^2}{1-x} - \frac{-x^3 + 2x^2}{-(x+1)}$

$f(-x) = \frac{-(x^3 + 2x^2)}{-(x-1)} - \frac{-(x^3 - 2x^2)}{-(x+1)} = \frac{x^3 + 2x^2}{x-1} - \frac{x^3 - 2x^2}{x+1}$

Вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = - \left( \frac{x^3 - 2x^2}{x+1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x-1} \right) = -f(x)$.

Так как выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

6)

Рассмотрим функцию $g(x) = \frac{(x-1)^5}{(3x+4)^3} - \frac{(x+1)^5}{(3x-4)^3}$.

Область определения функции $D(g)$ задается условиями $3x+4 \ne 0$ и $3x-4 \ne 0$, то есть $x \ne \pm \frac{4}{3}$. Область $D(g) = (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}; \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$g(-x) = \frac{(-x-1)^5}{(3(-x)+4)^3} - \frac{(-x+1)^5}{(3(-x)-4)^3} = \frac{(-(x+1))^5}{(-3x+4)^3} - \frac{(-(x-1))^5}{(-3x-4)^3}$

Используя свойство $(-a)^n = (-1)^n a^n$ для нечетных степеней $n=5$ и $n=3$, получаем:

$g(-x) = \frac{-(x+1)^5}{(-(3x-4))^3} - \frac{-(x-1)^5}{(-(3x+4))^3} = \frac{-(x+1)^5}{-(3x-4)^3} - \frac{-(x-1)^5}{-(3x+4)^3}$

$g(-x) = \frac{(x+1)^5}{(3x-4)^3} - \frac{(x-1)^5}{(3x+4)^3}$

Вынесем знак минус за скобки:

$g(-x) = - \left( \frac{(x-1)^5}{(3x+4)^3} - \frac{(x+1)^5}{(3x-4)^3} \right) = -g(x)$.

Так как выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.