Номер 4.51, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.51. Напишите общую формулу для всех углов α, удовлетво-ряющих равенству:

Для нахождения общей формулы для всех углов $ \alpha $, удовлетворяющих данным равенствам, мы будем использовать единичную тригонометрическую окружность. На этой окружности синус угла $ \alpha $ соответствует ординате (координате y), а косинус угла $ \alpha $ — абсциссе (координате x) точки, полученной поворотом начальной точки (1, 0) на угол $ \alpha $.

Уравнение $ \sin\alpha = 1 $ означает, что ордината точки на единичной окружности равна 1. Такая точка на окружности всего одна — это точка с координатами (0, 1). Эта точка соответствует углу поворота $ \frac{\pi}{2} $. Поскольку функция синус имеет период $ 2\pi $, все углы, для которых синус равен 1, можно получить, прибавляя к $ \frac{\pi}{2} $ целое число полных оборотов ($ 2\pi k $).

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Уравнение $ \sin\alpha = 0 $ означает, что ордината точки на единичной окружности равна 0. Таких точек две: (1, 0) и (-1, 0). Точка (1, 0) соответствует углам $ 0, 2\pi, 4\pi, \ldots $, то есть $ 2\pi k $. Точка (-1, 0) соответствует углам $ \pi, 3\pi, 5\pi, \ldots $, то есть $ \pi + 2\pi k $. Объединяя эти два семейства решений, получаем все углы, кратные $ \pi $.

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Уравнение $ \sin\alpha = -1 $ означает, что ордината точки на единичной окружности равна -1. Такая точка на окружности одна — это точка с координатами (0, -1). Эта точка соответствует углу поворота $ \frac{3\pi}{2} $ или, что то же самое, $ -\frac{\pi}{2} $. Период функции синус равен $ 2\pi $, поэтому все решения получаются добавлением к $ -\frac{\pi}{2} $ целого числа полных оборотов.

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ (или $ \alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $).

Уравнение $ \cos\alpha = 1 $ означает, что абсцисса точки на единичной окружности равна 1. Такая точка на окружности всего одна — это точка с координатами (1, 0). Эта точка соответствует углу поворота $ 0 $. Поскольку функция косинус имеет период $ 2\pi $, все углы, для которых косинус равен 1, можно получить, прибавляя к $ 0 $ целое число полных оборотов ($ 2\pi k $).

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Уравнение $ \cos\alpha = 0 $ означает, что абсцисса точки на единичной окружности равна 0. Таких точек две: (0, 1) и (0, -1). Точка (0, 1) соответствует углу $ \frac{\pi}{2} $. Точка (0, -1) соответствует углу $ \frac{3\pi}{2} $. Эти точки расположены на окружности на расстоянии $ \pi $ друг от друга. Поэтому все решения можно описать одной формулой, взяв первую точку $ \frac{\pi}{2} $ и добавляя к ней целое число полуоборотов ($ \pi k $).

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Уравнение $ \cos\alpha = -1 $ означает, что абсцисса точки на единичной окружности равна -1. Такая точка на окружности одна — это точка с координатами (-1, 0). Эта точка соответствует углу поворота $ \pi $. Период функции косинус равен $ 2\pi $, поэтому все решения получаются добавлением к $ \pi $ целого числа полных оборотов.

Общая формула для всех таких углов:

Ответ: $ \alpha = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.