Номер 4.54, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.54. Может ли выполняться равенство:

1) $\sin\alpha+2\cos\alpha=3;$

2) $3\sin\alpha-2\cos\alpha=5;$

3) $5\cos\alpha-3\sin\alpha=8;$

4) $2\sin\alpha+5\cos\alpha=-7?$

Для решения данной задачи воспользуемся методом оценки области значений выражений вида $a \sin\alpha + b \cos\alpha$. Известно, что такое выражение можно преобразовать к виду $R \sin(\alpha + \varphi)$ или $R \cos(\alpha - \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

Поскольку функции синус и косинус принимают значения в диапазоне от $-1$ до $1$, выражение $a \sin\alpha + b \cos\alpha$ будет принимать значения в диапазоне $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

Следовательно, чтобы равенство $a \sin\alpha + b \cos\alpha = c$ могло выполняться, необходимо и достаточно, чтобы значение $c$ принадлежало этому диапазону. То есть должно выполняться неравенство $|c| \le \sqrt{a^2+b^2}$ или, что то же самое, $c^2 \le a^2+b^2$. Проверим это условие для каждого из предложенных равенств.

1) $\sin\alpha+2\cos\alpha=3$

В этом уравнении $a=1$, $b=2$, $c=3$. Проверим выполнение условия $c^2 \le a^2+b^2$:

$3^2 \le 1^2+2^2$

$9 \le 1+4$

$9 \le 5$

Полученное неравенство является ложным. Максимальное значение левой части равно $\sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$. Так как $3 > \sqrt{5}$ (поскольку $9 > 5$), данное равенство выполняться не может.

Ответ: не может.

2) $3\sin\alpha-2\cos\alpha=5$

Здесь $a=3$, $b=-2$, $c=5$. Проверим условие $c^2 \le a^2+b^2$:

$5^2 \le 3^2+(-2)^2$

$25 \le 9+4$

$25 \le 13$

Это неравенство ложно. Максимальное значение левой части равно $\sqrt{3^2+(-2)^2} = \sqrt{13}$. Так как $5 > \sqrt{13}$ (поскольку $25 > 13$), данное равенство выполняться не может.

Ответ: не может.

3) $5\cos\alpha-3\sin\alpha=8$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $-3\sin\alpha+5\cos\alpha=8$. Здесь $a=-3$, $b=5$, $c=8$. Проверим условие $c^2 \le a^2+b^2$:

$8^2 \le (-3)^2+5^2$

$64 \le 9+25$

$64 \le 34$

Это неравенство ложно. Максимальное значение левой части равно $\sqrt{(-3)^2+5^2} = \sqrt{34}$. Так как $8 > \sqrt{34}$ (поскольку $64 > 34$), данное равенство выполняться не может.

Ответ: не может.

4) $2\sin\alpha+5\cos\alpha=-7$

Здесь $a=2$, $b=5$, $c=-7$. Проверим условие $c^2 \le a^2+b^2$:

$(-7)^2 \le 2^2+5^2$

$49 \le 4+25$

$49 \le 29$

Это неравенство ложно. Минимальное значение левой части равно $-\sqrt{2^2+5^2} = -\sqrt{29}$. Так как $-7 < -\sqrt{29}$ (поскольку $49 > 29$, то $7 > \sqrt{29}$, и, умножая на $-1$, получаем $-7 < -\sqrt{29}$), данное равенство выполняться не может.

Ответ: не может.