Страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.53. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражений:

1) $1+\sin\alpha;$

2) $1-\cos\alpha;$

3) $2-3\sin\alpha;$

4) $2\cos^2\alpha-1;$

5) $|2-5\cos\alpha|;$

6) $2-5|\cos\alpha|.$

1) 1+sinα;
Область значений функции синус: $-1 \le \sin\alpha \le 1$.
Прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства:
$1 + (-1) \le 1 + \sin\alpha \le 1 + 1$
$0 \le 1 + \sin\alpha \le 2$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно 0, а наибольшее равно 2.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

2) 1-cosα;
Область значений функции косинус: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$1 \ge -\cos\alpha \ge -1$, что эквивалентно $-1 \le -\cos\alpha \le 1$.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 + (-1) \le 1 - \cos\alpha \le 1 + 1$
$0 \le 1 - \cos\alpha \le 2$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно 0, а наибольшее равно 2.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

3) 2-3sinα;
Область значений синуса: $-1 \le \sin\alpha \le 1$.
Умножим неравенство на 3:
$-3 \le 3\sin\alpha \le 3$
Теперь умножим на -1, меняя знаки неравенства: $3 \ge -3\sin\alpha \ge -3$, что эквивалентно $-3 \le -3\sin\alpha \le 3$.
Прибавим 2 ко всем частям:
$2 - 3 \le 2 - 3\sin\alpha \le 2 + 3$
$-1 \le 2 - 3\sin\alpha \le 5$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -1, а наибольшее равно 5.
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 5.

4) 2cos²α-1;
Данное выражение является формулой косинуса двойного угла: $2\cos^2\alpha - 1 = \cos(2\alpha)$.
Область значений функции косинус для любого аргумента, включая $2\alpha$, равна отрезку $[-1, 1]$.
$-1 \le \cos(2\alpha) \le 1$
Таким образом, $-1 \le 2\cos^2\alpha - 1 \le 1$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -1, а наибольшее равно 1.
Альтернативный способ:
Поскольку $-1 \le \cos\alpha \le 1$, то при возведении в квадрат получаем $0 \le \cos^2\alpha \le 1$.
Умножим на 2: $0 \le 2\cos^2\alpha \le 2$.
Вычтем 1: $0-1 \le 2\cos^2\alpha - 1 \le 2-1$, что дает $-1 \le 2\cos^2\alpha - 1 \le 1$.
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 1.

5) |2-5cosα|;
Найдем сначала область значений выражения под модулем: $y = 2-5\cos\alpha$.
Известно, что $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Умножим на 5: $-5 \le 5\cos\alpha \le 5$.
Умножим на -1, меняя знаки неравенства: $5 \ge -5\cos\alpha \ge -5$, что эквивалентно $-5 \le -5\cos\alpha \le 5$.
Прибавим 2:
$2-5 \le 2-5\cos\alpha \le 2+5$
$-3 \le 2-5\cos\alpha \le 7$
Теперь найдем наименьшее и наибольшее значение модуля выражения $|y|$.
Наименьшее значение модуля равно 0, так как 0 принадлежит отрезку $[-3, 7]$ (это значение достигается при $\cos\alpha = 2/5$).
Наибольшее значение модуля будет равно наибольшему из значений $|-3|$ и $|7|$.
$\max(|-3|, |7|) = 7$. Это значение достигается при $\cos\alpha = -1$.
Следовательно, $0 \le |2-5\cos\alpha| \le 7$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 7.

6) 2-5|cosα|.
Сначала определим область значений для $|\cos\alpha|$.
Так как $-1 \le \cos\alpha \le 1$, то $0 \le |\cos\alpha| \le 1$.
Умножим неравенство на 5:
$0 \le 5|\cos\alpha| \le 5$
Умножим на -1, меняя знаки неравенства:
$-5 \le -5|\cos\alpha| \le 0$
Прибавим 2 ко всем частям:
$2-5 \le 2 - 5|\cos\alpha| \le 2+0$
$-3 \le 2 - 5|\cos\alpha| \le 2$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -3, а наибольшее равно 2.
Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение 2.

4.54. Может ли выполняться равенство:

1) $\sin\alpha+2\cos\alpha=3;$

2) $3\sin\alpha-2\cos\alpha=5;$

3) $5\cos\alpha-3\sin\alpha=8;$

4) $2\sin\alpha+5\cos\alpha=-7?$

Для решения данной задачи воспользуемся методом оценки области значений выражений вида $a \sin\alpha + b \cos\alpha$. Известно, что такое выражение можно преобразовать к виду $R \sin(\alpha + \varphi)$ или $R \cos(\alpha - \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

Поскольку функции синус и косинус принимают значения в диапазоне от $-1$ до $1$, выражение $a \sin\alpha + b \cos\alpha$ будет принимать значения в диапазоне $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

Следовательно, чтобы равенство $a \sin\alpha + b \cos\alpha = c$ могло выполняться, необходимо и достаточно, чтобы значение $c$ принадлежало этому диапазону. То есть должно выполняться неравенство $|c| \le \sqrt{a^2+b^2}$ или, что то же самое, $c^2 \le a^2+b^2$. Проверим это условие для каждого из предложенных равенств.

1) $\sin\alpha+2\cos\alpha=3$

В этом уравнении $a=1$, $b=2$, $c=3$. Проверим выполнение условия $c^2 \le a^2+b^2$:

$3^2 \le 1^2+2^2$

$9 \le 1+4$

$9 \le 5$

Полученное неравенство является ложным. Максимальное значение левой части равно $\sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$. Так как $3 > \sqrt{5}$ (поскольку $9 > 5$), данное равенство выполняться не может.

Ответ: не может.

2) $3\sin\alpha-2\cos\alpha=5$

Здесь $a=3$, $b=-2$, $c=5$. Проверим условие $c^2 \le a^2+b^2$:

$5^2 \le 3^2+(-2)^2$

$25 \le 9+4$

$25 \le 13$

Это неравенство ложно. Максимальное значение левой части равно $\sqrt{3^2+(-2)^2} = \sqrt{13}$. Так как $5 > \sqrt{13}$ (поскольку $25 > 13$), данное равенство выполняться не может.

Ответ: не может.

3) $5\cos\alpha-3\sin\alpha=8$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $-3\sin\alpha+5\cos\alpha=8$. Здесь $a=-3$, $b=5$, $c=8$. Проверим условие $c^2 \le a^2+b^2$:

$8^2 \le (-3)^2+5^2$

$64 \le 9+25$

$64 \le 34$

Это неравенство ложно. Максимальное значение левой части равно $\sqrt{(-3)^2+5^2} = \sqrt{34}$. Так как $8 > \sqrt{34}$ (поскольку $64 > 34$), данное равенство выполняться не может.

Ответ: не может.

4) $2\sin\alpha+5\cos\alpha=-7$

Здесь $a=2$, $b=5$, $c=-7$. Проверим условие $c^2 \le a^2+b^2$:

$(-7)^2 \le 2^2+5^2$

$49 \le 4+25$

$49 \le 29$

Это неравенство ложно. Минимальное значение левой части равно $-\sqrt{2^2+5^2} = -\sqrt{29}$. Так как $-7 < -\sqrt{29}$ (поскольку $49 > 29$, то $7 > \sqrt{29}$, и, умножая на $-1$, получаем $-7 < -\sqrt{29}$), данное равенство выполняться не может.

Ответ: не может.

4.55. Пусть функция $y=f(x)$ четная и:

1) $f(x)=\sqrt{x}, x \ge 0;$

2) $f(x)=x^2-3x, x \ge 0;$

3) $f(x)=x^2-2x, x \le 0;$

4) $f(x)=\frac{1}{x+1}, x \le 0.$

Запишите формулу, определяющую функцию $f(x)$, и постройте график этой функции.

По условию, функция $y=f(x)$ является четной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Для каждого случая мы используем данную часть формулы для нахождения второй части, а затем строим график.

1) $f(x) = \sqrt{x}$, при $x \ge 0$.

Нам дана формула для неотрицательных значений $x$. Чтобы найти формулу для отрицательных $x$ (т.е. $x < 0$), воспользуемся свойством четности: $f(x) = f(-x)$.

Поскольку $x < 0$, то $-x > 0$. Значит, для аргумента $-x$ мы можем использовать данную формулу $f(t) = \sqrt{t}$, подставив $t = -x$.

Получаем: $f(x) = f(-x) = \sqrt{-x}$ при $x < 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается системой:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Эту формулу можно записать в более компактном виде: $f(x) = \sqrt{|x|}$.

График функции состоит из двух ветвей. При $x \ge 0$ это график функции $y=\sqrt{x}$, а при $x < 0$ — график функции $y=\sqrt{-x}$, который является зеркальным отражением первой ветви относительно оси OY.

График функции:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$, или $f(x) = \sqrt{|x|}$. График представлен выше.

2) $f(x) = x^2 - 3x$, при $x \ge 0$.

Нам дана формула для $x \ge 0$. Чтобы найти формулу для $x < 0$, используем свойство четности: $f(x) = f(-x)$.

Так как $x < 0$, то $-x > 0$. Подставляем $-x$ в данную формулу:

$f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 3(-x) = x^2 + 3x$ при $x < 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается системой:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Эту формулу можно записать как $f(x) = x^2 - 3|x|$.

График функции при $x \ge 0$ — это часть параболы $y=x^2-3x$ с вершиной в точке $(1.5, -2.25)$. При $x < 0$ — это часть параболы $y=x^2+3x$ с вершиной в точке $(-1.5, -2.25)$. Итоговый график симметричен относительно оси OY.

График функции:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$, или $f(x) = x^2 - 3|x|$. График представлен выше.

3) $f(x) = x^2 - 2x$, при $x \le 0$.

Нам дана формула для $x \le 0$. Чтобы найти формулу для $x > 0$, используем свойство четности: $f(x) = f(-x)$.

Так как $x > 0$, то $-x < 0$. Подставляем $-x$ в данную формулу:

$f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$ при $x > 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается системой:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \le 0 \\ x^2 + 2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Эту формулу можно записать как $f(x) = x^2 + 2|x|$.

График функции при $x \le 0$ — это часть параболы $y=x^2-2x$. При $x \le 0$ эта ветвь параболы идет вверх от точки $(0,0)$. При $x > 0$ — это часть параболы $y=x^2+2x$, которая также идет вверх от $(0,0)$ и является зеркальным отражением первой части.

График функции:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \le 0 \\ x^2 + 2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$, или $f(x) = x^2 + 2|x|$. График представлен выше.

4) $f(x) = \frac{1}{x+1}$, при $x \le 0$.

Нам дана формула для $x \le 0$. Область определения этой части функции — $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0]$. Чтобы найти формулу для $x > 0$, используем свойство четности: $f(x) = f(-x)$.

Так как $x > 0$, то $-x < 0$. Подставляем $-x$ в данную формулу:

$f(x) = f(-x) = \frac{1}{(-x)+1} = \frac{1}{1-x}$ при $x > 0$.

Область определения этой части функции — $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается системой:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x+1}, & \text{если } x \le 0, x \ne -1 \\ \frac{1}{1-x}, & \text{если } x > 0, x \ne 1 \end{cases}$

Эту формулу можно записать как $f(x) = \frac{1}{1-|x|}$. Функция имеет две вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$. График симметричен относительно оси OY.

График функции:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x+1}, & \text{если } x \le 0, x \ne -1 \\ \frac{1}{1-x}, & \text{если } x > 0, x \ne 1 \end{cases}$, или $f(x) = \frac{1}{1-|x|}$. График представлен выше.

4.56. Пусть функция $y=f(x)$ нечетная и:

1) $f(x)=x^2$, $x \ge 0$;

2) $f(x)=x^2$, $x \le 0$;

3) $f(x)=x^2-2x$, $x \ge 0$;

4) $f(x)=\sqrt{x}$, $x > 0$.

Запишите формулу, определяющую функцию $f(x)$, и постройте график этой функции.

По определению, функция $y=f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Используем это свойство для нахождения формулы функции $f(x)$ на всей области определения и для построения ее графика.

1) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x)=x^2$ при $x \ge 0$.

Найдем формулу для $f(x)$ при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечетной функции, имеем: $f(x) = -f(-x)$. Поскольку $-x > 0$, для нахождения $f(-x)$ мы можем использовать данную формулу $f(t)=t^2$, подставив $t=-x$: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$. Следовательно, для $x < 0$ получаем: $f(x) = -f(-x) = -x^2$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается следующей формулой: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика, сначала строим график функции $y=x^2$ для $x \ge 0$ (правая ветвь параболы). Затем, используя симметрию относительно начала координат, строим вторую часть графика для $x < 0$, которая является графиком функции $y=-x^2$.

График функции $y=f(x)$:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

2) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x)=x^2$ при $x \le 0$.

Найдем формулу для $f(x)$ при $x > 0$. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. Используя свойство нечетной функции, имеем: $f(x) = -f(-x)$. Поскольку $-x < 0$, для нахождения $f(-x)$ мы можем использовать данную формулу $f(t)=t^2$, подставив $t=-x$: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$. Следовательно, для $x > 0$ получаем: $f(x) = -f(-x) = -x^2$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается следующей формулой: $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x > 0 \\ x^2, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

Для построения графика, сначала строим график функции $y=x^2$ для $x \le 0$ (левая ветвь параболы). Затем, используя симметрию относительно начала координат, строим вторую часть графика для $x > 0$, которая является графиком функции $y=-x^2$.

График функции $y=f(x)$:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x > 0 \\ x^2, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

3) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x)=x^2-2x$ при $x \ge 0$.

Найдем формулу для $f(x)$ при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечетной функции, имеем: $f(x) = -f(-x)$. Поскольку $-x > 0$, для нахождения $f(-x)$ мы можем использовать данную формулу $f(t)=t^2-2t$, подставив $t=-x$: $f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$. Следовательно, для $x < 0$ получаем: $f(x) = -f(-x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается следующей формулой: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика, сначала строим график функции $y=x^2-2x$ для $x \ge 0$. Это парабола с ветвями вверх, корнями в точках $x=0$ и $x=2$ и вершиной в точке $(1, -1)$. Затем, отражаем эту часть графика симметрично относительно начала координат, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Эта вторая часть является графиком функции $y=-x^2-2x$ (парабола с ветвями вниз, корнями в $x=0$ и $x=-2$ и вершиной в точке $(-1, 1)$).

График функции $y=f(x)$:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

4) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x)=\sqrt{x}$ при $x \ge 0$.

Найдем формулу для $f(x)$ при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечетной функции, имеем: $f(x) = -f(-x)$. Поскольку $-x > 0$, для нахождения $f(-x)$ мы можем использовать данную формулу $f(t)=\sqrt{t}$, подставив $t=-x$: $f(-x) = \sqrt{-x}$. Следовательно, для $x < 0$ получаем: $f(x) = -f(-x) = -\sqrt{-x}$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается следующей формулой: $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ -\sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика, сначала строим график функции $y=\sqrt{x}$ для $x \ge 0$. Затем, отражаем эту часть графика симметрично относительно начала координат, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Эта вторая часть является графиком функции $y=-\sqrt{-x}$.

График функции $y=f(x)$:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ -\sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

4.57. Найдите наименьший положительный период функции $y=\{x\}+\cos(\pi x)$.

Заданная функция $y(x) = \{x\} + \cos(\pi x)$ является суммой двух функций: $f(x) = \{x\}$ (дробная часть числа $x$) и $g(x) = \cos(\pi x)$.Чтобы найти наименьший положительный период функции $y(x)$, найдем сначала периоды функций $f(x)$ и $g(x)$.

1. Найдем наименьший положительный период функции $f(x) = \{x\}$.Функция дробной части числа определяется как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$.По определению периодической функции, число $T_1 > 0$ является периодом, если $f(x+T_1) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.Проверим значение $T_1 = 1$:$\{x+1\} = (x+1) - \lfloor x+1 \rfloor = (x+1) - (\lfloor x \rfloor + 1) = x - \lfloor x \rfloor = \{x\}$.Следовательно, $T_1=1$ является периодом функции $f(x) = \{x\}$.Докажем, что это наименьший положительный период. Предположим, существует период $T'$ такой, что $0 < T' < 1$.Тогда должно выполняться равенство $\{x+T'\} = \{x\}$ для всех $x$.Возьмем $x=0$. Получим $\{0+T'\} = \{0\}$, что равносильно $\{T'\} = 0$.Так как $0 < T' < 1$, то $\{T'\} = T'$. Значит, $T' = 0$, что противоречит нашему предположению $T' > 0$.Таким образом, наименьший положительный период функции $f(x) = \{x\}$ равен $T_1 = 1$.

2. Найдем наименьший положительный период функции $g(x) = \cos(\pi x)$.Наименьший положительный период функции $\cos(t)$ равен $2\pi$.Для функции вида $\cos(kx)$ наименьший положительный период $T_2$ находится по формуле $T_2 = \frac{2\pi}{|k|}$.В нашем случае $k=\pi$, поэтому наименьший положительный период функции $g(x)$ равен:$T_2 = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.

3. Найдем наименьший положительный период суммы функций $y(x) = f(x) + g(x)$.Если функция является суммой двух периодических функций с наименьшими положительными периодами $T_1$ и $T_2$, то ее период $T$ (если он существует) должен быть кратен как $T_1$, так и $T_2$. Если отношение $T_1/T_2$ рационально, то наименьший положительный период суммы является наименьшим общим кратным (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$.В нашем случае $T_1 = 1$ и $T_2 = 2$. Их отношение $1/2$ рационально.Найдем НОК(1, 2):$T = \text{НОК}(1, 2) = 2$.

Проверим, является ли $T=2$ периодом функции $y(x)$:$y(x+2) = \{x+2\} + \cos(\pi(x+2)) = \{x\} + \cos(\pi x + 2\pi) = \{x\} + \cos(\pi x) = y(x)$.Равенство выполняется для всех $x$, следовательно, $T=2$ является периодом.

Теперь необходимо доказать, что это наименьший положительный период.Рассмотрим множество точек разрыва функции $y(x)$. Функция $f(x)=\{x\}$ имеет разрывы в каждой целой точке $x \in \mathbb{Z}$. Функция $g(x)=\cos(\pi x)$ непрерывна на всей числовой оси. Следовательно, их сумма $y(x)$ имеет разрывы в тех же точках, что и $f(x)$, то есть в каждой целой точке.Если функция периодична с периодом $T$, то множество ее точек разрыва также должно быть периодично с периодом $T$. Это означает, что если $x_0$ — точка разрыва, то и $x_0+T$ тоже является точкой разрыва.В нашем случае множество точек разрыва — это множество целых чисел $\mathbb{Z}$.Возьмем точку разрыва $x_0 = 0$. Тогда точка $x_0+T = 0+T = T$ также должна быть точкой разрыва, то есть $T$ должно быть целым числом.Итак, наименьший положительный период $T$ должен быть натуральным числом.Проверим наименьшее натуральное число $T=1$:$y(x+1) = \{x+1\} + \cos(\pi(x+1)) = \{x\} + \cos(\pi x + \pi) = \{x\} - \cos(\pi x)$.Сравним $y(x+1)$ и $y(x)$:$\{x\} - \cos(\pi x) = \{x\} + \cos(\pi x)$$- \cos(\pi x) = \cos(\pi x)$$2\cos(\pi x) = 0$$\cos(\pi x) = 0$.Это равенство выполняется не для всех $x$, а только для $x = \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $T=1$ не является периодом функции.Следующее натуральное число — это $T=2$. Мы уже показали, что $T=2$ является периодом.Поскольку наименьший положительный период должен быть натуральным числом, и 1 не является периодом, то наименьшим положительным периодом является 2.

Ответ: 2.

4.58. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y=\sin2\pi x;$

2) $y=|\cos x|;$

3) $y=1+\sin^2x;$

4) $y=\sin2x+3\cos3x;$

5) $y=\operatorname{tg}3x+5\operatorname{ctg}2x.$

1) Функция $y=\sin(2\pi x)$. Наименьший положительный период функции $f(t)=\sin(t)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $g(x)=f(kx)$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В данном случае $k=2\pi$. Таким образом, период функции $y=\sin(2\pi x)$ равен $T = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$.
Ответ: $1$.

2) Функция $y=|\cos x|$. Наименьший положительный период функции $f(x)=\cos x$ равен $T_0 = 2\pi$. Модуль "отражает" отрицательную часть графика косинуса вверх, в результате чего период функции уменьшается вдвое. Проверим это: $|\cos(x+\pi)| = |-\cos x| = |\cos x|$. Таким образом, $\pi$ является периодом функции. Так как для $x=0$, $y=|\cos 0| = 1$, а для $x=\frac{\pi}{2}$, $y=|\cos \frac{\pi}{2}|=0$, то период не может быть меньше $\pi$. Следовательно, наименьший положительный период равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.

3) Функция $y=1+\sin^2x$. Сложение с константой $1$ не влияет на период функции, поэтому достаточно найти период для $f(x)=\sin^2x$. Воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$. Тогда исходная функция примет вид $y=1+\frac{1-\cos(2x)}{2} = \frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)$. Период этой функции определяется периодом функции $\cos(2x)$. Наименьший положительный период для $\cos(t)$ равен $2\pi$. Для функции $\cos(2x)$ период равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

4) Функция $y=\sin(2x)+3\cos(3x)$. Данная функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x)=\sin(2x)$ и $f_2(x)=3\cos(3x)$. Найдем их наименьшие положительные периоды.
Период $T_1$ для $f_1(x)=\sin(2x)$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Период $T_2$ для $f_2(x)=3\cos(3x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{3}$.
Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, \frac{2\pi}{3})$.
Для нахождения НОК можно записать периоды как $T_1 = \frac{3\pi}{3}$ и $T_2 = \frac{2\pi}{3}$. НОК ищется для числителей, а для знаменателей - наибольший общий делитель (НОД): $T = \frac{\text{НОК}(3\pi, 2\pi)}{\text{НОД}(3, 3)} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$.
Или, используя формулу для дробей: $T = \text{НОК}(\frac{\pi}{1}, \frac{2\pi}{3}) = \frac{\text{НОК}(\pi, 2\pi)}{\text{НОД}(1, 3)} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

5) Функция $y=\text{tg}3x+5\text{ctg}2x$. Данная функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x)=\text{tg}(3x)$ и $f_2(x)=5\text{ctg}(2x)$. Найдем их наименьшие положительные периоды.
Наименьший положительный период тангенса равен $\pi$. Период $T_1$ для $f_1(x)=\text{tg}(3x)$ равен $T_1 = \frac{\pi}{3}$.
Наименьший положительный период котангенса равен $\pi$. Период $T_2$ для $f_2(x)=5\text{ctg}(2x)$ равен $T_2 = \frac{\pi}{2}$.
Наименьший положительный период суммы функций равен НОК их периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.
Используем формулу для НОК дробей: $T = \frac{\text{НОК}(\pi, \pi)}{\text{НОД}(3, 2)} = \frac{\pi}{1} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

4.59. Может ли функция $y=x^2+6x-1$ принимать значение, равное:

1) $-1$;

2) $-8$;

3) $-11$?

Чтобы определить, может ли функция $y=x^2+6x-1$ принимать заданные значения, мы можем найти ее область значений. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине и не имеет наибольшего значения.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$. Для нашей функции $a=1$ и $b=6$.

$x_v = -6 / (2 \cdot 1) = -3$.

Теперь найдем ординату вершины $y_v$, подставив $x_v = -3$ в уравнение функции. Это значение и будет наименьшим значением функции.

$y_v = (-3)^2 + 6(-3) - 1 = 9 - 18 - 1 = -10$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-10$. Область значений функции — это все числа, большие или равные $-10$, то есть промежуток $[-10; +\infty)$. Функция может принять любое значение $y$, если $y \ge -10$.

1) Может ли функция принять значение, равное $-1$?

Сравним значение $-1$ с наименьшим значением функции $-10$. Так как $-1 > -10$, это значение входит в область значений функции. Следовательно, функция может принять значение $-1$.

Для подтверждения решим уравнение $x^2+6x-1 = -1$:

$x^2+6x = 0$

$x(x+6) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$. Поскольку существуют действительные значения $x$, при которых $y = -1$, функция может принимать это значение.

Ответ: Да, может.

2) Может ли функция принять значение, равное $-8$?

Сравним значение $-8$ с наименьшим значением функции $-10$. Так как $-8 > -10$, это значение входит в область значений функции. Следовательно, функция может принять значение $-8$.

Для подтверждения решим уравнение $x^2+6x-1 = -8$:

$x^2+6x+7 = 0$

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, а значит, функция может принять значение $-8$.

Ответ: Да, может.

3) Может ли функция принять значение, равное $-11$?

Сравним значение $-11$ с наименьшим значением функции $-10$. Так как $-11 < -10$, это значение не входит в область значений функции. Следовательно, функция не может принять значение $-11$.

Для подтверждения решим уравнение $x^2+6x-1 = -11$:

$x^2+6x+10 = 0$

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это подтверждает, что функция не может принять значение $-11$.

Ответ: Нет, не может.

4.60. Решите систему неравенств:

1)

$\begin{cases} 2x - 6 < 3 - x \\ x^2 - 5x + 4 \le 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - 3x + 2 \ge 0 \\ 2x^2 - 9x < 0. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 6 < 3 - x \\ x^2 - 5x + 4 \le 0 \end{cases} $$

Сначала решим первое, линейное неравенство: $2x - 6 < 3 - x$. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$2x + x < 3 + 6$

$3x < 9$

Разделим обе части на 3:

$x < 3$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 3)$.

Теперь решим второе, квадратное неравенство: $x^2 - 5x + 4 \le 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x + 4$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x + 4 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая их. Таким образом, решение второго неравенства — это отрезок $[1; 4]$.

Решение системы неравенств — это пересечение решений каждого из неравенств. Найдем пересечение промежутков $(-\infty; 3)$ и $[1; 4]$. Изобразим это на числовой оси:

Из рисунка видно, что пересечением является полуинтервал $[1; 3)$.

Ответ: $x \in [1; 3)$.

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 \ge 0 \\ 2x^2 - 9x < 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ за пределами отрезка между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 9x < 0$. Вынесем $x$ за скобку: $x(2x - 9) < 0$. Корнями уравнения $x(2x - 9) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 9/2 = 4,5$. Ветви параболы $y = 2x^2 - 9x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Решение: $x \in (0; 4,5)$.

Найдем пересечение множеств решений $(-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$ и $(0; 4,5)$. Изобразим это на числовой оси:

Пересечение состоит из двух промежутков: $(0; 1]$ и $[2; 4,5)$.

Ответ: $x \in (0; 1] \cup [2; 4,5)$.