Номер 4.57, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.57. Найдите наименьший положительный период функции $y=\{x\}+\cos(\pi x)$.

Заданная функция $y(x) = \{x\} + \cos(\pi x)$ является суммой двух функций: $f(x) = \{x\}$ (дробная часть числа $x$) и $g(x) = \cos(\pi x)$.Чтобы найти наименьший положительный период функции $y(x)$, найдем сначала периоды функций $f(x)$ и $g(x)$.

1. Найдем наименьший положительный период функции $f(x) = \{x\}$.Функция дробной части числа определяется как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$.По определению периодической функции, число $T_1 > 0$ является периодом, если $f(x+T_1) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.Проверим значение $T_1 = 1$:$\{x+1\} = (x+1) - \lfloor x+1 \rfloor = (x+1) - (\lfloor x \rfloor + 1) = x - \lfloor x \rfloor = \{x\}$.Следовательно, $T_1=1$ является периодом функции $f(x) = \{x\}$.Докажем, что это наименьший положительный период. Предположим, существует период $T'$ такой, что $0 < T' < 1$.Тогда должно выполняться равенство $\{x+T'\} = \{x\}$ для всех $x$.Возьмем $x=0$. Получим $\{0+T'\} = \{0\}$, что равносильно $\{T'\} = 0$.Так как $0 < T' < 1$, то $\{T'\} = T'$. Значит, $T' = 0$, что противоречит нашему предположению $T' > 0$.Таким образом, наименьший положительный период функции $f(x) = \{x\}$ равен $T_1 = 1$.

2. Найдем наименьший положительный период функции $g(x) = \cos(\pi x)$.Наименьший положительный период функции $\cos(t)$ равен $2\pi$.Для функции вида $\cos(kx)$ наименьший положительный период $T_2$ находится по формуле $T_2 = \frac{2\pi}{|k|}$.В нашем случае $k=\pi$, поэтому наименьший положительный период функции $g(x)$ равен:$T_2 = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.

3. Найдем наименьший положительный период суммы функций $y(x) = f(x) + g(x)$.Если функция является суммой двух периодических функций с наименьшими положительными периодами $T_1$ и $T_2$, то ее период $T$ (если он существует) должен быть кратен как $T_1$, так и $T_2$. Если отношение $T_1/T_2$ рационально, то наименьший положительный период суммы является наименьшим общим кратным (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$.В нашем случае $T_1 = 1$ и $T_2 = 2$. Их отношение $1/2$ рационально.Найдем НОК(1, 2):$T = \text{НОК}(1, 2) = 2$.

Проверим, является ли $T=2$ периодом функции $y(x)$:$y(x+2) = \{x+2\} + \cos(\pi(x+2)) = \{x\} + \cos(\pi x + 2\pi) = \{x\} + \cos(\pi x) = y(x)$.Равенство выполняется для всех $x$, следовательно, $T=2$ является периодом.

Теперь необходимо доказать, что это наименьший положительный период.Рассмотрим множество точек разрыва функции $y(x)$. Функция $f(x)=\{x\}$ имеет разрывы в каждой целой точке $x \in \mathbb{Z}$. Функция $g(x)=\cos(\pi x)$ непрерывна на всей числовой оси. Следовательно, их сумма $y(x)$ имеет разрывы в тех же точках, что и $f(x)$, то есть в каждой целой точке.Если функция периодична с периодом $T$, то множество ее точек разрыва также должно быть периодично с периодом $T$. Это означает, что если $x_0$ — точка разрыва, то и $x_0+T$ тоже является точкой разрыва.В нашем случае множество точек разрыва — это множество целых чисел $\mathbb{Z}$.Возьмем точку разрыва $x_0 = 0$. Тогда точка $x_0+T = 0+T = T$ также должна быть точкой разрыва, то есть $T$ должно быть целым числом.Итак, наименьший положительный период $T$ должен быть натуральным числом.Проверим наименьшее натуральное число $T=1$:$y(x+1) = \{x+1\} + \cos(\pi(x+1)) = \{x\} + \cos(\pi x + \pi) = \{x\} - \cos(\pi x)$.Сравним $y(x+1)$ и $y(x)$:$\{x\} - \cos(\pi x) = \{x\} + \cos(\pi x)$$- \cos(\pi x) = \cos(\pi x)$$2\cos(\pi x) = 0$$\cos(\pi x) = 0$.Это равенство выполняется не для всех $x$, а только для $x = \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $T=1$ не является периодом функции.Следующее натуральное число — это $T=2$. Мы уже показали, что $T=2$ является периодом.Поскольку наименьший положительный период должен быть натуральным числом, и 1 не является периодом, то наименьшим положительным периодом является 2.

Ответ: 2.