Номер 4.60, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.60. Решите систему неравенств:

1)

$\begin{cases} 2x - 6 < 3 - x \\ x^2 - 5x + 4 \le 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - 3x + 2 \ge 0 \\ 2x^2 - 9x < 0. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 6 < 3 - x \\ x^2 - 5x + 4 \le 0 \end{cases} $$

Сначала решим первое, линейное неравенство: $2x - 6 < 3 - x$. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$2x + x < 3 + 6$

$3x < 9$

Разделим обе части на 3:

$x < 3$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 3)$.

Теперь решим второе, квадратное неравенство: $x^2 - 5x + 4 \le 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x + 4$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x + 4 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая их. Таким образом, решение второго неравенства — это отрезок $[1; 4]$.

Решение системы неравенств — это пересечение решений каждого из неравенств. Найдем пересечение промежутков $(-\infty; 3)$ и $[1; 4]$. Изобразим это на числовой оси:

Из рисунка видно, что пересечением является полуинтервал $[1; 3)$.

Ответ: $x \in [1; 3)$.

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 \ge 0 \\ 2x^2 - 9x < 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ за пределами отрезка между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 9x < 0$. Вынесем $x$ за скобку: $x(2x - 9) < 0$. Корнями уравнения $x(2x - 9) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 9/2 = 4,5$. Ветви параболы $y = 2x^2 - 9x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Решение: $x \in (0; 4,5)$.

Найдем пересечение множеств решений $(-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$ и $(0; 4,5)$. Изобразим это на числовой оси:

Пересечение состоит из двух промежутков: $(0; 1]$ и $[2; 4,5)$.

Ответ: $x \in (0; 1] \cup [2; 4,5)$.