Номер 4.63, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.63. Приведите выражения к тригонометрической функции угла из промежутка $(0^\circ; 90^\circ$):

1) $tg137^\circ;$

2) $sin(-178^\circ);$

3) $sin680^\circ;$

4) $cos(-1000^\circ).$

1) tg137°

Угол $137^\circ$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 137^\circ < 180^\circ$). Чтобы привести тангенс этого угла к функции угла из промежутка $(0^\circ; 90^\circ)$, воспользуемся формулой приведения $tg(180^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.

Представим угол $137^\circ$ в виде разности $180^\circ - 43^\circ$.

$tg(137^\circ) = tg(180^\circ - 43^\circ) = -tg(43^\circ)$.

Угол $43^\circ$ принадлежит требуемому промежутку $(0^\circ; 90^\circ)$.

Ответ: $-tg(43^\circ)$.

2) sin(-178°)

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.

$sin(-178^\circ) = -sin(178^\circ)$.

Теперь приведем $sin(178^\circ)$. Угол $178^\circ$ находится во второй координатной четверти. Применим формулу приведения $sin(180^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$.

Представим угол $178^\circ$ как $180^\circ - 2^\circ$.

$-sin(178^\circ) = -sin(180^\circ - 2^\circ) = -sin(2^\circ)$.

Угол $2^\circ$ принадлежит промежутку $(0^\circ; 90^\circ)$.

Ответ: $-sin(2^\circ)$.

3) sin(680°)

Функция синус является периодической с периодом $360^\circ$, что выражается формулой $sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = sin(\alpha)$, где $k$ — любое целое число. Найдем остаток от деления $680^\circ$ на $360^\circ$.

$680^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 320^\circ$.

Следовательно, $sin(680^\circ) = sin(320^\circ)$.

Угол $320^\circ$ находится в четвертой координатной четверти ($270^\circ < 320^\circ < 360^\circ$). Применим формулу приведения $sin(360^\circ - \alpha) = -sin(\alpha)$.

Представим угол $320^\circ$ как $360^\circ - 40^\circ$.

$sin(320^\circ) = sin(360^\circ - 40^\circ) = -sin(40^\circ)$.

Угол $40^\circ$ принадлежит промежутку $(0^\circ; 90^\circ)$.

Ответ: $-sin(40^\circ)$.

4) cos(-1000°)

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

$cos(-1000^\circ) = cos(1000^\circ)$.

Функция косинус является периодической с периодом $360^\circ$: $cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = cos(\alpha)$. Найдем остаток от деления $1000^\circ$ на $360^\circ$.

$1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ = 720^\circ + 280^\circ$.

Следовательно, $cos(1000^\circ) = cos(280^\circ)$.

Угол $280^\circ$ находится в четвертой координатной четверти. Применим формулу приведения $cos(360^\circ - \alpha) = cos(\alpha)$.

Представим угол $280^\circ$ как $360^\circ - 80^\circ$.

$cos(280^\circ) = cos(360^\circ - 80^\circ) = cos(80^\circ)$.

Угол $80^\circ$ принадлежит промежутку $(0^\circ; 90^\circ)$.

Ответ: $cos(80^\circ)$.