Номер 4.70, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.70. Докажите тождества, если $\alpha, \beta \text{ и } \gamma$ – углы треугольника:

1) $\sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\gamma}{2}$;

2) $\operatorname{tg} \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\gamma}{2}$.

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами одного треугольника, их сумма равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Это фундаментальное свойство треугольника, которое можно записать в виде формулы:

$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

Из этого соотношения мы можем выразить сумму двух углов через третий:

$ \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma $

Разделив обе части равенства на 2, получим ключевое соотношение для решения задачи:

$ \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} $

Теперь мы можем приступить к доказательству тождеств.

1) Для доказательства тождества $ \sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2} $ преобразуем его левую часть, используя выведенное выше соотношение $ \frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} $.

$ \sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \sin(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) $

Далее, воспользуемся формулой приведения для синуса, которая гласит, что $ \sin(90^\circ - x) = \cos(x) $. Применив эту формулу, получаем:

$ \sin(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \cos\frac{\gamma}{2} $

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2} $ доказано.

2) Равенство $ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2} $, представленное в задаче, не является тождеством для произвольного треугольника. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. Покажем, почему оно неверно.

Преобразуем левую часть, используя соотношение $ \frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} $:

$ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \text{tg}(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) $

По формуле приведения для тангенса, $ \text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg}(x) $. Следовательно:

$ \text{tg}(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \text{ctg}\frac{\gamma}{2} $

Тогда исходное равенство можно переписать в виде:

$ \text{ctg}\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\gamma}{2} $

Раскроем котангенс: $ \frac{\cos(\gamma/2)}{\sin(\gamma/2)} = \cos(\gamma/2) $.

Это равенство может выполняться, только если $ \cos(\gamma/2) = 0 $ или $ \sin(\gamma/2) = 1 $. Оба случая приводят к $ \gamma = 180^\circ $, что невозможно для угла треугольника. Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Наиболее вероятное правильное тождество, которое имелось в виду, это: $ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \text{ctg}\frac{\gamma}{2} $. Докажем его.

Начнем с левой части:

$ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \text{tg}(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) $

Используя формулу приведения $ \text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg}(x) $, мы немедленно получаем:

$ \text{tg}(90^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \text{ctg}\frac{\gamma}{2} $

Таким образом, левая часть равна правой, что и доказывает исправленное тождество.

Ответ: Исходное равенство $ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2} $ не является тождеством, так как в условии, вероятно, содержится опечатка. Правильное тождество $ \text{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = \text{ctg}\frac{\gamma}{2} $ доказано.