Номер 4.69, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.69. Найдите значение выражения $2\text{tg}1095^\circ + \text{ctg}975^\circ - \text{tg}(-195^\circ)$,

если $\text{tg}15^\circ = 2 - \sqrt{3}$.

Для нахождения значения выражения $2\operatorname{tg}1095^\circ + \operatorname{ctg}975^\circ - \operatorname{tg}(-195^\circ)$ воспользуемся свойствами периодичности и четности/нечетности тригонометрических функций. Период тангенса и котангенса равен $180^\circ$.

1. Упростим каждый член выражения, приведя углы к острому углу $15^\circ$.

Найдем значение для $\operatorname{tg}1095^\circ$:

Угол $1095^\circ$ можно представить как $1095^\circ = 6 \cdot 180^\circ + 15^\circ$.

Используя периодичность тангенса $\operatorname{tg}(\alpha + 180^\circ \cdot n) = \operatorname{tg}\alpha$ для целого $n$:

$\operatorname{tg}1095^\circ = \operatorname{tg}(6 \cdot 180^\circ + 15^\circ) = \operatorname{tg}15^\circ$.

Найдем значение для $\operatorname{ctg}975^\circ$:

Угол $975^\circ$ можно представить как $975^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 75^\circ$.

Используя периодичность котангенса $\operatorname{ctg}(\alpha + 180^\circ \cdot n) = \operatorname{ctg}\alpha$:

$\operatorname{ctg}975^\circ = \operatorname{ctg}(5 \cdot 180^\circ + 75^\circ) = \operatorname{ctg}75^\circ$.

Воспользуемся формулой приведения $\operatorname{ctg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{tg}\alpha$:

$\operatorname{ctg}75^\circ = \operatorname{ctg}(90^\circ - 15^\circ) = \operatorname{tg}15^\circ$.

Найдем значение для $\operatorname{tg}(-195^\circ)$:

Тангенс — нечетная функция, поэтому $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$:

$\operatorname{tg}(-195^\circ) = -\operatorname{tg}195^\circ$.

Угол $195^\circ$ можно представить как $195^\circ = 180^\circ + 15^\circ$.

Используя периодичность тангенса:

$\operatorname{tg}195^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ + 15^\circ) = \operatorname{tg}15^\circ$.

Следовательно, $\operatorname{tg}(-195^\circ) = -\operatorname{tg}15^\circ$.

2. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$2\operatorname{tg}1095^\circ + \operatorname{ctg}975^\circ - \operatorname{tg}(-195^\circ) = 2\operatorname{tg}15^\circ + \operatorname{tg}15^\circ - (-\operatorname{tg}15^\circ) = 2\operatorname{tg}15^\circ + \operatorname{tg}15^\circ + \operatorname{tg}15^\circ = 4\operatorname{tg}15^\circ$.

3. По условию задачи $\operatorname{tg}15^\circ = 2 - \sqrt{3}$. Подставим это значение в полученное выражение:

$4\operatorname{tg}15^\circ = 4(2 - \sqrt{3}) = 8 - 4\sqrt{3}$.

Ответ: $8 - 4\sqrt{3}$.