Номер 4.71, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.71. Упростите выражения:

1) $ \sin^2(\pi+\alpha) $;

2) $ \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) $;

3) $ \cos^2\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) $;

4) $ \sin^2(180^\circ-x)+\sin^2(270^\circ-x) $;

5) $ \cos^2(\pi+x)+\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right) $.

1) Для упрощения выражения $\sin^2(\pi+\alpha)$ воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$.

Угол $(\pi+\alpha)$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен, а так как к аргументу добавляется $\pi$, название функции не меняется.

Следовательно, $\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$.

Возводя в квадрат, получаем: $\sin^2(\pi+\alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$.

Ответ: $\sin^2\alpha$.

2) Для упрощения выражения $\text{tg}^2(\frac{3\pi}{2}+\alpha)$ воспользуемся формулой приведения для тангенса: $\text{tg}(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = -\text{ctg}\alpha$.

Угол $(\frac{3\pi}{2}+\alpha)$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен, а так как к аргументу добавляется $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (тангенс на котангенс).

Следовательно, $\text{tg}(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = -\text{ctg}\alpha$.

Возводя в квадрат, получаем: $\text{tg}^2(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = (-\text{ctg}\alpha)^2 = \text{ctg}^2\alpha$.

Ответ: $\text{ctg}^2\alpha$.

3) Для упрощения выражения $\cos^2(\frac{3\pi}{2}-\alpha)$ воспользуемся формулой приведения для косинуса: $\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -\sin\alpha$.

Угол $(\frac{3\pi}{2}-\alpha)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, а так как от аргумента отнимается $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (косинус на синус).

Следовательно, $\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -\sin\alpha$.

Возводя в квадрат, получаем: $\cos^2(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$.

Ответ: $\sin^2\alpha$.

4) Упростим выражение $\sin^2(180^\circ-x)+\sin^2(270^\circ-x)$, применив формулы приведения к каждому слагаемому.

Для первого слагаемого: $\sin(180^\circ-x) = \sin x$ (угол во второй четверти, синус положителен, функция не меняется).

Следовательно, $\sin^2(180^\circ-x) = \sin^2x$.

Для второго слагаемого: $\sin(270^\circ-x) = -\cos x$ (угол в третьей четверти, синус отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Следовательно, $\sin^2(270^\circ-x) = (-\cos x)^2 = \cos^2x$.

Складываем полученные выражения: $\sin^2x + \cos^2x$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем результат.

Ответ: 1.

5) Упростим выражение $\cos^2(\pi+x)+\cos^2(\frac{\pi}{2}+x)$, применив формулы приведения к каждому слагаемому.

Для первого слагаемого: $\cos(\pi+x) = -\cos x$ (угол в третьей четверти, косинус отрицателен, функция не меняется).

Следовательно, $\cos^2(\pi+x) = (-\cos x)^2 = \cos^2x$.

Для второго слагаемого: $\cos(\frac{\pi}{2}+x) = -\sin x$ (угол во второй четверти, косинус отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Следовательно, $\cos^2(\frac{\pi}{2}+x) = (-\sin x)^2 = \sin^2x$.

Складываем полученные выражения: $\cos^2x + \sin^2x$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2x + \sin^2x = 1$, получаем результат.

Ответ: 1.