Номер 4.73, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.73. Докажите тождества:

1) $\sin(60^\circ-\alpha)=\cos(30^\circ+\alpha)$;

2) $\operatorname{ctg}(80^\circ-\alpha)=\operatorname{tg}(10^\circ+\alpha)$;

3) $\frac{\cos^2(\pi-\alpha) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(\pi + \alpha) \cos(2\pi - \alpha)}{\operatorname{tg}^2\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) \operatorname{ctg}^2\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)} = \cos^2\alpha$.

1) Для доказательства тождества $sin(60^\circ - \alpha) = cos(30^\circ + \alpha)$ воспользуемся формулой приведения для косинуса и синуса, которая связывает эти две функции: $cos(90^\circ - x) = sin(x)$.

Преобразуем левую часть равенства, представив синус через косинус:

$sin(60^\circ - \alpha) = cos(90^\circ - (60^\circ - \alpha)) = cos(90^\circ - 60^\circ + \alpha) = cos(30^\circ + \alpha)$.

В результате преобразования левая часть стала равна правой части: $cos(30^\circ + \alpha) = cos(30^\circ + \alpha)$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ctg(80^\circ - \alpha) = tg(10^\circ + \alpha)$ воспользуемся формулой приведения для котангенса и тангенса: $ctg(x) = tg(90^\circ - x)$.

Преобразуем левую часть равенства:

$ctg(80^\circ - \alpha) = tg(90^\circ - (80^\circ - \alpha)) = tg(90^\circ - 80^\circ + \alpha) = tg(10^\circ + \alpha)$.

В результате преобразования левая часть стала равна правой части: $tg(10^\circ + \alpha) = tg(10^\circ + \alpha)$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество: $\frac{cos^2(\pi - \alpha) + sin^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) + cos(\pi + \alpha)cos(2\pi - \alpha)}{tg^2(\alpha - \frac{\pi}{2})ctg^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} = cos^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, упрощая числитель и знаменатель по отдельности с помощью формул приведения.

Упрощение числителя: $cos^2(\pi - \alpha) + sin^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) + cos(\pi + \alpha)cos(2\pi - \alpha)$.

Применим формулы приведения:

$cos(\pi - \alpha) = -cos\alpha$ (угол во II четверти, косинус отрицательный).

$sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos\alpha$ (формула дополнения).

$cos(\pi + \alpha) = -cos\alpha$ (угол в III четверти, косинус отрицательный).

$cos(2\pi - \alpha) = cos\alpha$ (угол в IV четверти, косинус положительный).

Подставим преобразованные выражения в числитель:

$(-cos\alpha)^2 + (cos\alpha)^2 + (-cos\alpha)(cos\alpha) = cos^2\alpha + cos^2\alpha - cos^2\alpha = cos^2\alpha$.

Упрощение знаменателя: $tg^2(\alpha - \frac{\pi}{2})ctg^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$.

Применим формулы приведения:

$tg(\alpha - \frac{\pi}{2}) = tg(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -ctg\alpha$.

$ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -tg\alpha$ (угол в IV четверти, котангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию).

Подставим преобразованные выражения в знаменатель:

$(-ctg\alpha)^2 \cdot (-tg\alpha)^2 = ctg^2\alpha \cdot tg^2\alpha$.

Используя основное тригонометрическое тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$, получаем:

$ctg^2\alpha \cdot tg^2\alpha = (ctg\alpha \cdot tg\alpha)^2 = 1^2 = 1$.

Результат:

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{cos^2\alpha}{1} = cos^2\alpha$.

Левая часть равна правой, то есть $cos^2\alpha = cos^2\alpha$.

Ответ: Тождество доказано.