Номер 4.74, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.74. Найдите значения выражений:

1) $ \text{tg}15^\circ \text{tg}30^\circ \text{tg}45^\circ \text{tg}60^\circ \text{tg}75^\circ; $

2) $ \text{ctg}18^\circ \text{ctg}36^\circ \text{ctg}54^\circ \text{ctg}72^\circ; $

3) $ \text{tg}1^\circ \text{tg}2^\circ \dots \text{tg}88^\circ \text{tg}89^\circ; $

4) $ \text{ctg}88^\circ \text{ctg}86^\circ \dots \text{ctg}4^\circ \text{ctg}2^\circ. $

1) Для нахождения значения выражения $\text{tg}15^\circ\text{tg}30^\circ\text{tg}45^\circ\text{tg}60^\circ\text{tg}75^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$ и основным тригонометрическим тождеством $\text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = 1$.

Сначала сгруппируем множители так, чтобы сумма их углов равнялась $90^\circ$:

$(\text{tg}15^\circ \cdot \text{tg}75^\circ) \cdot (\text{tg}30^\circ \cdot \text{tg}60^\circ) \cdot \text{tg}45^\circ$.

Применим формулу приведения к $\text{tg}75^\circ$ и $\text{tg}60^\circ$:

$\text{tg}75^\circ = \text{tg}(90^\circ - 15^\circ) = \text{ctg}15^\circ$.

$\text{tg}60^\circ = \text{tg}(90^\circ - 30^\circ) = \text{ctg}30^\circ$.

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$(\text{tg}15^\circ \cdot \text{ctg}15^\circ) \cdot (\text{tg}30^\circ \cdot \text{ctg}30^\circ) \cdot \text{tg}45^\circ$.

Используя тождество $\text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = 1$ и зная табличное значение $\text{tg}45^\circ = 1$, получаем:

$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

2) Для нахождения значения выражения $\text{ctg}18^\circ\text{ctg}36^\circ\text{ctg}54^\circ\text{ctg}72^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$ и тождеством $\text{ctg}(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = 1$.

Сгруппируем множители так, чтобы сумма их углов равнялась $90^\circ$:

$(\text{ctg}18^\circ \cdot \text{ctg}72^\circ) \cdot (\text{ctg}36^\circ \cdot \text{ctg}54^\circ)$.

Применим формулу приведения к $\text{ctg}72^\circ$ и $\text{ctg}54^\circ$:

$\text{ctg}72^\circ = \text{ctg}(90^\circ - 18^\circ) = \text{tg}18^\circ$.

$\text{ctg}54^\circ = \text{ctg}(90^\circ - 36^\circ) = \text{tg}36^\circ$.

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$(\text{ctg}18^\circ \cdot \text{tg}18^\circ) \cdot (\text{ctg}36^\circ \cdot \text{tg}36^\circ)$.

Используя тождество $\text{ctg}(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = 1$, получаем:

$1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

3) Выражение $\text{tg}1^\circ\text{tg}2^\circ \ldots\text{tg}88^\circ\text{tg}89^\circ$ представляет собой произведение 89 множителей. Сгруппируем их попарно, используя тот же принцип, что и в первом задании.

Пары будут иметь вид $(\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(90^\circ - \alpha))$. Например:

$(\text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}89^\circ)$, $(\text{tg}2^\circ \cdot \text{tg}88^\circ)$, и так далее.

Рассмотрим произведение в одной такой паре:

$\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$.

Таким образом, произведение в каждой паре равно 1.

Всего в выражении 89 множителей. Мы можем сформировать 44 такие пары (от $\text{tg}1^\circ$ до $\text{tg}44^\circ$). Центральный множитель, у которого нет пары, это $\text{tg}45^\circ$.

Таким образом, все выражение можно записать как:

$(\text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}89^\circ) \cdot (\text{tg}2^\circ \cdot \text{tg}88^\circ) \ldots (\text{tg}44^\circ \cdot \text{tg}46^\circ) \cdot \text{tg}45^\circ$.

Это произведение 44 единиц и $\text{tg}45^\circ$. Так как $\text{tg}45^\circ = 1$, итоговый результат:

$1^{44} \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

4) Выражение $\text{ctg}88^\circ\text{ctg}86^\circ \ldots\text{ctg}4^\circ\text{ctg}2^\circ$ является произведением котангенсов четных углов от $2^\circ$ до $88^\circ$. Запишем его в порядке возрастания углов:

$\text{ctg}2^\circ\text{ctg}4^\circ \ldots\text{ctg}86^\circ\text{ctg}88^\circ$.

Количество множителей в этом выражении равно $(88 - 2)/2 + 1 = 43 + 1 = 44$.

Так как число множителей четное, все их можно разбить на $44 / 2 = 22$ пары. Сгруппируем их так, чтобы сумма углов в каждой паре была $90^\circ$.

Пары будут иметь вид $(\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}(90^\circ - \alpha))$. Например:

$(\text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ)$, $(\text{ctg}4^\circ \cdot \text{ctg}86^\circ)$, и так далее до $(\text{ctg}44^\circ \cdot \text{ctg}46^\circ)$.

Рассмотрим произведение в одной такой паре, используя формулу приведения $\text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$:

$\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1$.

Поскольку произведение в каждой из 22 пар равно 1, то значение всего выражения также равно 1.

$1^{22} = 1$.

Ответ: 1