Номер 4.53, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.53. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражений:

1) $1+\sin\alpha;$

2) $1-\cos\alpha;$

3) $2-3\sin\alpha;$

4) $2\cos^2\alpha-1;$

5) $|2-5\cos\alpha|;$

6) $2-5|\cos\alpha|.$

1) 1+sinα;
Область значений функции синус: $-1 \le \sin\alpha \le 1$.
Прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства:
$1 + (-1) \le 1 + \sin\alpha \le 1 + 1$
$0 \le 1 + \sin\alpha \le 2$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно 0, а наибольшее равно 2.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

2) 1-cosα;
Область значений функции косинус: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$1 \ge -\cos\alpha \ge -1$, что эквивалентно $-1 \le -\cos\alpha \le 1$.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 + (-1) \le 1 - \cos\alpha \le 1 + 1$
$0 \le 1 - \cos\alpha \le 2$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно 0, а наибольшее равно 2.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

3) 2-3sinα;
Область значений синуса: $-1 \le \sin\alpha \le 1$.
Умножим неравенство на 3:
$-3 \le 3\sin\alpha \le 3$
Теперь умножим на -1, меняя знаки неравенства: $3 \ge -3\sin\alpha \ge -3$, что эквивалентно $-3 \le -3\sin\alpha \le 3$.
Прибавим 2 ко всем частям:
$2 - 3 \le 2 - 3\sin\alpha \le 2 + 3$
$-1 \le 2 - 3\sin\alpha \le 5$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -1, а наибольшее равно 5.
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 5.

4) 2cos²α-1;
Данное выражение является формулой косинуса двойного угла: $2\cos^2\alpha - 1 = \cos(2\alpha)$.
Область значений функции косинус для любого аргумента, включая $2\alpha$, равна отрезку $[-1, 1]$.
$-1 \le \cos(2\alpha) \le 1$
Таким образом, $-1 \le 2\cos^2\alpha - 1 \le 1$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -1, а наибольшее равно 1.
Альтернативный способ:
Поскольку $-1 \le \cos\alpha \le 1$, то при возведении в квадрат получаем $0 \le \cos^2\alpha \le 1$.
Умножим на 2: $0 \le 2\cos^2\alpha \le 2$.
Вычтем 1: $0-1 \le 2\cos^2\alpha - 1 \le 2-1$, что дает $-1 \le 2\cos^2\alpha - 1 \le 1$.
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 1.

5) |2-5cosα|;
Найдем сначала область значений выражения под модулем: $y = 2-5\cos\alpha$.
Известно, что $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Умножим на 5: $-5 \le 5\cos\alpha \le 5$.
Умножим на -1, меняя знаки неравенства: $5 \ge -5\cos\alpha \ge -5$, что эквивалентно $-5 \le -5\cos\alpha \le 5$.
Прибавим 2:
$2-5 \le 2-5\cos\alpha \le 2+5$
$-3 \le 2-5\cos\alpha \le 7$
Теперь найдем наименьшее и наибольшее значение модуля выражения $|y|$.
Наименьшее значение модуля равно 0, так как 0 принадлежит отрезку $[-3, 7]$ (это значение достигается при $\cos\alpha = 2/5$).
Наибольшее значение модуля будет равно наибольшему из значений $|-3|$ и $|7|$.
$\max(|-3|, |7|) = 7$. Это значение достигается при $\cos\alpha = -1$.
Следовательно, $0 \le |2-5\cos\alpha| \le 7$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 7.

6) 2-5|cosα|.
Сначала определим область значений для $|\cos\alpha|$.
Так как $-1 \le \cos\alpha \le 1$, то $0 \le |\cos\alpha| \le 1$.
Умножим неравенство на 5:
$0 \le 5|\cos\alpha| \le 5$
Умножим на -1, меняя знаки неравенства:
$-5 \le -5|\cos\alpha| \le 0$
Прибавим 2 ко всем частям:
$2-5 \le 2 - 5|\cos\alpha| \le 2+0$
$-3 \le 2 - 5|\cos\alpha| \le 2$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -3, а наибольшее равно 2.
Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение 2.