Страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.40. В какой координатной четверти расположен угол α, если:

1) $\sin\alpha>0$ и $\cos\alpha>0$;

2) $\sin\alpha<0$ и $\cos\alpha>0$;

3) $\sin\alpha>0$ и $\cos\alpha<0$;

4) $\operatorname{tg}\alpha<0$ и $\cos\alpha>0$;

5) $\sin\alpha>0$ и $\operatorname{tg}\alpha>0$;

6) $\operatorname{ctg}\alpha>0$ и $\sin\alpha<0$?

Для определения координатной четверти угла $\alpha$, воспользуемся знаками тригонометрических функций в каждой из них. Знаки синуса ($\sin\alpha$) соответствуют знакам координаты y на единичной окружности, а знаки косинуса ($\cos\alpha$) — знакам координаты x. Знаки тангенса ($\tan\alpha$) и котангенса ($\cot\alpha$) определяются как частное синуса и косинуса. Наглядно это представлено на рисунке:

Координатные четверти и знаки функций:
I четверть (от 0° до 90°): $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha > 0$, $\tan\alpha > 0$, $\cot\alpha > 0$.
II четверть (от 90° до 180°): $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha < 0$, $\tan\alpha < 0$, $\cot\alpha < 0$.
III четверть (от 180° до 270°): $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha < 0$, $\tan\alpha > 0$, $\cot\alpha > 0$.
IV четверть (от 270° до 360°): $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha > 0$, $\tan\alpha < 0$, $\cot\alpha < 0$.

1) $\sin\alpha>0$ и $\cos\alpha>0$

Условие $\sin\alpha>0$ означает, что угол $\alpha$ находится в I или II координатной четверти. Условие $\cos\alpha>0$ означает, что угол $\alpha$ находится в I или IV координатной четверти. Одновременное выполнение этих двух условий возможно только тогда, когда угол $\alpha$ расположен в I координатной четверти.
Ответ: I четверть.

2) $\sin\alpha<0$ и $\cos\alpha>0$

Условие $\sin\alpha<0$ выполняется для углов в III и IV четвертях. Условие $\cos\alpha>0$ выполняется для углов в I и IV четвертях. Пересечением этих условий является IV координатная четверть.
Ответ: IV четверть.

3) $\sin\alpha>0$ и $\cos\alpha<0$

Условие $\sin\alpha>0$ выполняется для углов в I и II четвертях. Условие $\cos\alpha<0$ выполняется для углов в II и III четвертях. Пересечением этих условий является II координатная четверть.
Ответ: II четверть.

4) $\tan\alpha<0$ и $\cos\alpha>0$

Условие $\tan\alpha<0$ означает, что $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют разные знаки. Это происходит во II и IV четвертях. Условие $\cos\alpha>0$ выполняется для углов в I и IV четвертях. Следовательно, угол $\alpha$ может находиться только в IV координатной четверти.
Ответ: IV четверть.

5) $\sin\alpha>0$ и $\tan\alpha>0$

Условие $\sin\alpha>0$ выполняется для углов в I и II четвертях. Условие $\tan\alpha>0$ означает, что $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III четвертях. Пересечением множеств {I, II} и {I, III} является I координатная четверть. Также, из формулы $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ следует, что если $\sin\alpha>0$ и $\tan\alpha>0$, то и $\cos\alpha$ должен быть больше нуля. А условия $\sin\alpha>0$ и $\cos\alpha>0$ соответствуют I четверти.
Ответ: I четверть.

6) $\cot\alpha>0$ и $\sin\alpha<0$

Условие $\cot\alpha>0$ означает, что $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III четвертях. Условие $\sin\alpha<0$ выполняется для углов в III и IV четвертях. Пересечением множеств {I, III} и {III, IV} является III координатная четверть. Также, из формулы $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ следует, что если $\cot\alpha>0$ и $\sin\alpha<0$, то и $\cos\alpha$ должен быть меньше нуля. А условия $\sin\alpha<0$ и $\cos\alpha<0$ соответствуют III четверти.
Ответ: III четверть.

4.41. В какой координатной четверти знаки выражений:

1) $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $;

2) $ \tan\alpha $ и $ \cot\alpha $;

3) $ \cos\alpha $ и $ \tan\alpha $ одинаковые?

Для решения этой задачи необходимо вспомнить, какие знаки имеют тригонометрические функции в каждой из четырех координатных четвертей. Знаки определяются по знакам координат $x$ и $y$ на единичной окружности.

Рассмотрим каждый случай отдельно, используя информацию о знаках функций:

1) sinα и cosα
Нам необходимо найти четверти, где знаки $sinα$ и $cosα$ совпадают. Это происходит, когда оба выражения положительны или оба отрицательны.
- В I четверти: $sinα > 0$ и $cosα > 0$. Знаки одинаковые (оба "+").
- Во II четверти: $sinα > 0$, а $cosα < 0$. Знаки разные.
- В III четверти: $sinα < 0$ и $cosα < 0$. Знаки одинаковые (оба "-").
- В IV четверти: $sinα < 0$, а $cosα > 0$. Знаки разные.
Таким образом, знаки $sinα$ и $cosα$ одинаковы в I и III четвертях.
Ответ: в I и III четвертях.

2) tgα и ctgα
Тангенс и котангенс связаны тождеством $ctgα = \frac{1}{tgα}$. Из этой формулы видно, что $ctgα$ имеет тот же знак, что и $tgα$, для всех углов $α$, для которых они определены. Давайте проверим это по четвертям:
- I четверть: $tgα > 0$, $ctgα > 0$.
- II четверть: $tgα < 0$, $ctgα < 0$.
- III четверть: $tgα > 0$, $ctgα > 0$.
- IV четверть: $tgα < 0$, $ctgα < 0$.
Во всех четырех четвертях знаки $tgα$ и $ctgα$ совпадают.
Ответ: в I, II, III и IV четвертях.

3) cosα и tgα
Чтобы знаки $cosα$ и $tgα$ были одинаковыми, их произведение должно быть положительным: $cosα ⋅ tgα > 0$. Используя определение $tgα = \frac{sinα}{cosα}$, получаем: $cosα ⋅ \frac{sinα}{cosα} > 0$, что эквивалентно условию $sinα > 0$ (при $cosα ≠ 0$).
Функция $sinα$ положительна в I и II четвертях.
Проверим знаки непосредственно:
- В I четверти: $cosα > 0$ и $tgα > 0$. Знаки одинаковые.
- Во II четверти: $cosα < 0$ и $tgα < 0$. Знаки одинаковые.
- В III четверти: $cosα < 0$, а $tgα > 0$. Знаки разные.
- В IV четверти: $cosα > 0$, а $tgα < 0$. Знаки разные.
Следовательно, знаки $cosα$ и $tgα$ совпадают в I и II четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

4.42. Определите четность функции (устно):

1) $y=x^{10};$

2) $y=x^{-2};$

3) $y=\sqrt{x};$

4) $y=\sqrt{x^6};$

5) $y=x^4-2x^2+3;$

6) $y=x^3-5x;$

7) $y=x+\sin x;$

8) $y=x^2-\cos x;$

9) $y=x^5 \cdot \operatorname{tg} x.$

1) $y=x^{10}$

Пусть $f(x) = x^{10}$. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения, функция является четной.
Ответ: четная.

2) $y=x^{-2}$

Пусть $f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$. Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^{-2} = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения, функция является четной.
Ответ: четная.

3) $y=\sqrt{x}$

Пусть $f(x) = \sqrt{x}$. Область определения функции $D(f) = [0; +\infty)$.
Эта область определения не является симметричной относительно начала координат (например, $x=1$ принадлежит области определения, а $x=-1$ — нет). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

4) $y=\sqrt{x^6}$

Пусть $f(x) = \sqrt{x^6}$. Выражение под корнем $x^6 \ge 0$ для всех действительных $x$, поэтому область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Упростим выражение: $f(x) = \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = |(-x)^3| = |-x^3| = |x^3| = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

5) $y=x^4-2x^2+3$

Пусть $f(x) = x^4-2x^2+3$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x)$.
Функция является суммой четных функций ($y=x^4$, $y=-2x^2$, $y=3$), поэтому она также является четной.
Ответ: четная.

6) $y=x^3-5x$

Пусть $f(x) = x^3-5x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 - 5(-x) = -x^3 + 5x = -(x^3 - 5x) = -f(x)$.
Функция является суммой нечетных функций ($y=x^3$ и $y=-5x$), поэтому она также является нечетной.
Ответ: нечетная.

7) $y=x+\sin{x}$

Пусть $f(x) = x+\sin{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x) + \sin(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x) = -f(x)$.
Функция является суммой двух нечетных функций ($y=x$ и $y=\sin x$), поэтому она является нечетной.
Ответ: нечетная.

8) $y=x^2-\cos{x}$

Пусть $f(x) = x^2-\cos{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^2 - \cos(-x) = x^2 - \cos x = f(x)$.
Функция является разностью двух четных функций ($y=x^2$ и $y=\cos x$), поэтому она является четной.
Ответ: четная.

9) $y=x^5 \cdot \text{tg}x$

Пусть $f(x) = x^5 \cdot \text{tg}x$. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, кроме $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^5 \cdot \text{tg}(-x) = (-x^5) \cdot (-\text{tg}x) = x^5 \cdot \text{tg}x = f(x)$.
Функция является произведением двух нечетных функций ($y=x^5$ и $y=\text{tg}x$), поэтому она является четной.
Ответ: четная.

4.43. Исследуйте функцию на четность:

1) $f(x)=9;$

2) $g(x)=0;$

3) $h(x)=(2-3x)^3+(2+3x)^3;$

4) $f(x)=(5x-2)^4+(5x+2)^4;$

5) $f(x)=(x-6)^9(x+3)^5+(x+6)^9(x-3)^5.$

1) Для того чтобы исследовать функцию на четность, необходимо проверить выполнение условия $f(-x) = f(x)$ (четная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная функция) для всех $x$ из области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля.
Для функции $f(x)=9$ область определения $D(f)=(-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x)=9$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$: $f(-x) = 9$ и $f(x) = 9$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

2) Для функции $g(x)=0$ область определения $D(g)=(-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем значение функции для аргумента $-x$: $g(-x)=0$.
Проверим условие четности: $g(-x) = 0$ и $g(x) = 0$. Так как $g(-x) = g(x)$, функция является четной.
Проверим условие нечетности: $g(-x) = 0$ и $-g(x) = -0 = 0$. Так как $g(-x) = -g(x)$, функция является нечетной.
Функция $g(x)=0$ является единственной функцией, которая одновременно является и четной, и нечетной.
Ответ: четная и нечетная.

3) Для функции $h(x)=(2-3x)^3+(2+3x)^3$ область определения $D(h)=(-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$h(-x)=(2-3(-x))^3+(2+3(-x))^3 = (2+3x)^3+(2-3x)^3$.
Так как сложение коммутативно (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), то:
$h(-x) = (2-3x)^3+(2+3x)^3 = h(x)$.
Поскольку выполняется условие $h(-x)=h(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

4) Для функции $f(x)=(5x-2)^4+(5x+2)^4$ область определения $D(f)=(-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x)=(5(-x)-2)^4+(5(-x)+2)^4 = (-5x-2)^4+(-5x+2)^4$.
Используем свойство четной степени: $(-a)^n=a^n$ при четном $n$. В данном случае $n=4$:
$f(-x)=(-(5x+2))^4+(-(5x-2))^4 = (5x+2)^4+(5x-2)^4$.
Так как сложение коммутативно:
$f(-x) = (5x-2)^4+(5x+2)^4 = f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x)=f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

5) Для функции $f(x)=(x-6)^9(x+3)^5+(x+6)^9(x-3)^5$ область определения $D(f)=(-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x)=((-x)-6)^9((-x)+3)^5+((-x)+6)^9((-x)-3)^5$.
Вынесем $-1$ из каждой скобки:
$f(-x)= (-(x+6))^9(-(x-3))^5+(-(x-6))^9(-(x+3))^5$.
Используем свойство нечетной степени: $(-a)^n=-a^n$ при нечетном $n$. В данном случае показатели степеней $9$ и $5$ нечетные:
$f(-x)= [(-1)(x+6)]^9[(-1)(x-3)]^5+[(-1)(x-6)]^9[(-1)(x+3)]^5$
$f(-x)= [(-1)^9(x+6)^9][(-1)^5(x-3)^5]+[(-1)^9(x-6)^9][(-1)^5(x+3)^5]$
$f(-x)= [-(x+6)^9][-(x-3)^5]+[-(x-6)^9][-(x+3)^5]$
$f(-x)= (x+6)^9(x-3)^5+(x-6)^9(x+3)^5$.
Так как сложение коммутативно:
$f(-x) = (x-6)^9(x+3)^5+(x+6)^9(x-3)^5=f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x)=f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

4.44. Определите четность функции:

1) $y=(x+3)|x-1|+(x-3)|x+1|;$

2) $y=(x+5)|x-3|-(x-5)|x+3|;$

3) $y=\frac{|x-7|}{x+1}+\frac{|x+7|}{x-1};$

4) $y=\frac{|x-4|}{x+2}+\frac{|x+4|}{x-2};$

5) $f(x)=\frac{x^3-2x^2}{x+1}-\frac{x^3+2x^2}{x-1};$

6) $g(x)=\frac{(x-1)^5}{(3x+4)^3}-\frac{(x+1)^5}{(3x-4)^3}.$

1)

Рассмотрим функцию $y(x) = (x+3)|x-1| + (x-3)|x+1|$.

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = (-x+3)|-x-1| + (-x-3)|-x+1|$

Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, получаем: $|-x-1|=|-(x+1)|=|x+1|$ и $|-x+1|=|-(x-1)|=|x-1|$.

Подставим эти выражения в формулу для $y(-x)$:

$y(-x) = (3-x)|x+1| - (x+3)|x-1| = -(x-3)|x+1| - (x+3)|x-1| = -((x+3)|x-1| + (x-3)|x+1|) = -y(x)$.

Так как выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

2)

Рассмотрим функцию $y(x) = (x+5)|x-3| - (x-5)|x+3|$.

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = (-x+5)|-x-3| - (-x-5)|-x+3|$

Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, получаем: $|-x-3|=|-(x+3)|=|x+3|$ и $|-x+3|=|-(x-3)|=|x-3|$.

Подставим эти выражения в формулу для $y(-x)$:

$y(-x) = (5-x)|x+3| - (-(x+5))|x-3| = -(x-5)|x+3| + (x+5)|x-3| = (x+5)|x-3| - (x-5)|x+3| = y(x)$.

Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

3)

Рассмотрим функцию $y(x) = \left|\frac{x-7}{x+1}\right| + \left|\frac{x+7}{x-1}\right|$.

Область определения функции $D(y)$ задается условиями $x+1 \ne 0$ и $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 1$. Область $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = \left|\frac{-x-7}{-x+1}\right| + \left|\frac{-x+7}{-x-1}\right| = \left|\frac{-(x+7)}{-(x-1)}\right| + \left|\frac{-(x-7)}{-(x+1)}\right|$

Используя свойство модуля $\left|\frac{-a}{-b}\right|=\left|\frac{a}{b}\right|$, получаем:

$y(-x) = \left|\frac{x+7}{x-1}\right| + \left|\frac{x-7}{x+1}\right| = y(x)$.

Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

4)

Рассмотрим функцию $y(x) = \left|\frac{x-4}{x+2}\right| + \left|\frac{x+4}{x-2}\right|$.

Область определения функции $D(y)$ задается условиями $x+2 \ne 0$ и $x-2 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 2$. Область $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = \left|\frac{-x-4}{-x+2}\right| + \left|\frac{-x+4}{-x-2}\right| = \left|\frac{-(x+4)}{-(x-2)}\right| + \left|\frac{-(x-4)}{-(x+2)}\right|$

Используя свойство модуля $\left|\frac{-a}{-b}\right|=\left|\frac{a}{b}\right|$, получаем:

$y(-x) = \left|\frac{x+4}{x-2}\right| + \left|\frac{x-4}{x+2}\right| = y(x)$.

Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

5)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x+1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x-1}$.

Область определения функции $D(f)$ задается условиями $x+1 \ne 0$ и $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 1$. Область $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3 - 2(-x)^2}{-x+1} - \frac{(-x)^3 + 2(-x)^2}{-x-1} = \frac{-x^3 - 2x^2}{1-x} - \frac{-x^3 + 2x^2}{-(x+1)}$

$f(-x) = \frac{-(x^3 + 2x^2)}{-(x-1)} - \frac{-(x^3 - 2x^2)}{-(x+1)} = \frac{x^3 + 2x^2}{x-1} - \frac{x^3 - 2x^2}{x+1}$

Вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = - \left( \frac{x^3 - 2x^2}{x+1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x-1} \right) = -f(x)$.

Так как выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

6)

Рассмотрим функцию $g(x) = \frac{(x-1)^5}{(3x+4)^3} - \frac{(x+1)^5}{(3x-4)^3}$.

Область определения функции $D(g)$ задается условиями $3x+4 \ne 0$ и $3x-4 \ne 0$, то есть $x \ne \pm \frac{4}{3}$. Область $D(g) = (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}; \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$g(-x) = \frac{(-x-1)^5}{(3(-x)+4)^3} - \frac{(-x+1)^5}{(3(-x)-4)^3} = \frac{(-(x+1))^5}{(-3x+4)^3} - \frac{(-(x-1))^5}{(-3x-4)^3}$

Используя свойство $(-a)^n = (-1)^n a^n$ для нечетных степеней $n=5$ и $n=3$, получаем:

$g(-x) = \frac{-(x+1)^5}{(-(3x-4))^3} - \frac{-(x-1)^5}{(-(3x+4))^3} = \frac{-(x+1)^5}{-(3x-4)^3} - \frac{-(x-1)^5}{-(3x+4)^3}$

$g(-x) = \frac{(x+1)^5}{(3x-4)^3} - \frac{(x-1)^5}{(3x+4)^3}$

Вынесем знак минус за скобки:

$g(-x) = - \left( \frac{(x-1)^5}{(3x+4)^3} - \frac{(x+1)^5}{(3x-4)^3} \right) = -g(x)$.

Так как выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

4.45. Укажите наименьший положительный период функции:

1) $y=\{2x\}$;

2) $y=\cos\left(\frac{x}{2}\right)$;

3) $y=\left\{\frac{x}{3}\right\}$;

4) $y=\operatorname{tg}3x$;

5) $y=\sin2x$;

6) $y=\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{3}\right)$.

Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y=f(kx)$ используется общее правило: если наименьший положительный период функции $f(u)$ равен $T_0$, то наименьший положительный период функции $y=f(kx)$ равен $T = \frac{T_0}{|k|}$.

1) Рассмотрим функцию $y=\{2x\}$.

Основной функцией является функция дробной части числа $f(u)=\{u\}$, наименьший положительный период которой $T_0=1$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=2$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{1}{|2|} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Рассмотрим функцию $y=\cos\left(\frac{x}{2}\right)$.

Основной функцией является $f(u)=\cos(u)$, наименьший положительный период которой $T_0=2\pi$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=\frac{1}{2}$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$.

3) Рассмотрим функцию $y=\left\{\frac{x}{3}\right\}$.

Основной функцией является функция дробной части числа $f(u)=\{u\}$, наименьший положительный период которой $T_0=1$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=\frac{1}{3}$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{1}{|\frac{1}{3}|} = 3$.

Ответ: $3$.

4) Рассмотрим функцию $y=\text{tg}(3x)$.

Основной функцией является $f(u)=\text{tg}(u)$, наименьший положительный период которой $T_0=\pi$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=3$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

5) Рассмотрим функцию $y=\sin(2x)$.

Основной функцией является $f(u)=\sin(u)$, наименьший положительный период которой $T_0=2\pi$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=2$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

6) Рассмотрим функцию $y=\text{ctg}\left(\frac{x}{3}\right)$.

Основной функцией является $f(u)=\text{ctg}(u)$, наименьший положительный период которой $T_0=\pi$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=\frac{1}{3}$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.