Номер 4.45, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.45. Укажите наименьший положительный период функции:

1) $y=\{2x\}$;

2) $y=\cos\left(\frac{x}{2}\right)$;

3) $y=\left\{\frac{x}{3}\right\}$;

4) $y=\operatorname{tg}3x$;

5) $y=\sin2x$;

6) $y=\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{3}\right)$.

Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y=f(kx)$ используется общее правило: если наименьший положительный период функции $f(u)$ равен $T_0$, то наименьший положительный период функции $y=f(kx)$ равен $T = \frac{T_0}{|k|}$.

1) Рассмотрим функцию $y=\{2x\}$.

Основной функцией является функция дробной части числа $f(u)=\{u\}$, наименьший положительный период которой $T_0=1$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=2$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{1}{|2|} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Рассмотрим функцию $y=\cos\left(\frac{x}{2}\right)$.

Основной функцией является $f(u)=\cos(u)$, наименьший положительный период которой $T_0=2\pi$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=\frac{1}{2}$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$.

3) Рассмотрим функцию $y=\left\{\frac{x}{3}\right\}$.

Основной функцией является функция дробной части числа $f(u)=\{u\}$, наименьший положительный период которой $T_0=1$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=\frac{1}{3}$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{1}{|\frac{1}{3}|} = 3$.

Ответ: $3$.

4) Рассмотрим функцию $y=\text{tg}(3x)$.

Основной функцией является $f(u)=\text{tg}(u)$, наименьший положительный период которой $T_0=\pi$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=3$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

5) Рассмотрим функцию $y=\sin(2x)$.

Основной функцией является $f(u)=\sin(u)$, наименьший положительный период которой $T_0=2\pi$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=2$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

6) Рассмотрим функцию $y=\text{ctg}\left(\frac{x}{3}\right)$.

Основной функцией является $f(u)=\text{ctg}(u)$, наименьший положительный период которой $T_0=\pi$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=\frac{1}{3}$.

Наименьший положительный период данной функции равен: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.