Номер 4.83, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.83. Найдите наибольшие значения выражений:

1) $1-(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha);$

2) $1-\sin\alpha \cos\alpha \tan\alpha;$

3) $\cos^{2}\alpha \tan^{2}\alpha+5\cos^{2}\alpha-1;$

4) $\sin\alpha+3\sin^{2}\alpha+3\cos^{2}\alpha.$

1) Упростим данное выражение, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
$1 - (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = 1 - \cos(2\alpha)$.
Чтобы найти наибольшее значение этого выражения, необходимо найти наименьшее значение функции $\cos(2\alpha)$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, наименьшее значение $\cos(2\alpha)$ равно $-1$.
Таким образом, наибольшее значение всего выражения равно: $1 - (-1) = 2$.
Ответ: 2

2) Упростим выражение, используя определение тангенса: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Заметим, что выражение определено при условии $\cos\alpha \neq 0$.
$1 - \sin\alpha \cos\alpha \tan\alpha = 1 - \sin\alpha \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 1 - \sin^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
Область значений функции $\cos\alpha$ — это $[-1; 1]$, следовательно, область значений для $\cos^2\alpha$ — это $[0; 1]$.
Наибольшее значение выражения $\cos^2\alpha$ равно 1. Это значение достигается, например, при $\alpha=0$, где $\cos(0) = 1 \neq 0$, что удовлетворяет области определения.
Ответ: 1

3) Упростим выражение. Напомним, что $\tan^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$, и выражение определено при $\cos\alpha \neq 0$.
$\cos^2\alpha \tan^2\alpha + 5\cos^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 5\cos^2\alpha - 1 = \sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha - 1$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, выразив $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:
$(1 - \cos^2\alpha) + 5\cos^2\alpha - 1 = 4\cos^2\alpha$.
Область значений $\cos^2\alpha$ — это отрезок $[0; 1]$. Поскольку по области определения $\cos\alpha \neq 0$, то $\cos^2\alpha \neq 0$. Таким образом, значения $\cos^2\alpha$ принадлежат полуинтервалу $(0; 1]$.
Наибольшее значение выражения $4\cos^2\alpha$ достигается при наибольшем значении $\cos^2\alpha$, то есть при $\cos^2\alpha = 1$.
Наибольшее значение равно $4 \cdot 1 = 4$.
Ответ: 4

4) Упростим данное выражение. Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель 3 за скобки:
$\sin\alpha + 3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha = \sin\alpha + 3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin\alpha + 3(1) = \sin\alpha + 3$.
Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$.
Чтобы найти наибольшее значение выражения $\sin\alpha + 3$, нужно взять наибольшее значение $\sin\alpha$, которое равно 1.
Наибольшее значение всего выражения равно: $1 + 3 = 4$.
Ответ: 4