Номер 4.162, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.162. Найдите наибольшее значение выражения $\frac{\cos 2\alpha + 1}{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}$ при $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Для нахождения наибольшего значения выражения преобразуем его, упростив числитель и знаменатель.

Преобразование числителя. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1$. Тогда числитель принимает вид:

$\cos{2\alpha} + 1 = (2\cos^2{\alpha} - 1) + 1 = 2\cos^2{\alpha}$.

Преобразование знаменателя. Знаменатель выражения равен $\ctg{\frac{\alpha}{2}} - \tg{\frac{\alpha}{2}}$. Представим котангенс и тангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:

$\ctg{\frac{\alpha}{2}} - \tg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos{\frac{\alpha}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}} - \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} = \frac{\cos^2{\frac{\alpha}{2}} - \sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}}$.

Используя формулы двойного угла для косинуса ($\cos{\alpha} = \cos^2{\frac{\alpha}{2}} - \sin^2{\frac{\alpha}{2}}$) и синуса ($\sin{\alpha} = 2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}$), получаем:

$\frac{\cos{\alpha}}{\frac{1}{2}\sin{\alpha}} = 2\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = 2\ctg{\alpha}$.

Все преобразования корректны, так как при $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ знаменатели тригонометрических функций не обращаются в ноль.

Упрощение исходного выражения. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{\cos{2\alpha} + 1}{\ctg{\frac{\alpha}{2}} - \tg{\frac{\alpha}{2}}} = \frac{2\cos^2{\alpha}}{2\ctg{\alpha}} = \frac{\cos^2{\alpha}}{\ctg{\alpha}} = \frac{\cos^2{\alpha}}{\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}} = \cos^2{\alpha} \cdot \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$, получаем окончательное упрощенное выражение:

$\sin{\alpha}\cos{\alpha} = \frac{1}{2}\sin{2\alpha}$.

Нахождение наибольшего значения. Нам нужно найти наибольшее значение функции $f(\alpha) = \frac{1}{2}\sin{2\alpha}$ при условии $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Рассмотрим интервал для аргумента $2\alpha$. Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, то, умножив на 2, получим $0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \sin{x}$ строго возрастает от $\sin(0)=0$ до $\sin(\frac{\pi}{2})=1$.

Следовательно, функция $f(\alpha) = \frac{1}{2}\sin{2\alpha}$ также строго возрастает на интервале $(0, \frac{\pi}{4})$.

Так как функция строго возрастает на открытом интервале, она не достигает своего наибольшего значения внутри этого интервала. Наибольшее значение в данном случае — это точная верхняя грань (супремум) множества значений функции, которая равна пределу функции при $\alpha$, стремящемся к правому концу интервала:

$\lim_{\alpha \to \frac{\pi}{4}^-} \frac{1}{2}\sin{2\alpha} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, наибольшее значение, к которому стремится выражение, равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.