Номер 4.161, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.161. Найдите наименьшее значение выражения $\frac{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha}{\cos 4\alpha + 1}$ при $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Для нахождения наименьшего значения выражения преобразуем его числитель и знаменатель по отдельности.

1. Упростим числитель $\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha$:

$\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используя формулы двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = 2\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 2\text{ctg}(2\alpha)$

2. Упростим знаменатель $\cos 4\alpha + 1$:

Используя формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$, применив ее для $x = 2\alpha$, получим:

$\cos 4\alpha + 1 = 2\cos^2(2\alpha)$

3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{2\text{ctg}(2\alpha)}{2\cos^2(2\alpha)} = \frac{\text{ctg}(2\alpha)}{\cos^2(2\alpha)} = \frac{\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}}{\cos^2(2\alpha)}$

При условии $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, имеем $0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$, следовательно $\cos(2\alpha) > 0$. Мы можем сократить дробь на $\cos(2\alpha)$:

$\frac{1}{\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}$

Снова воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$, из которой следует $\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha)$.

Таким образом, исходное выражение равно:

$\frac{1}{\frac{1}{2}\sin(4\alpha)} = \frac{2}{\sin(4\alpha)}$

4. Найдем наименьшее значение полученного выражения.

Нам нужно найти наименьшее значение функции $f(\alpha) = \frac{2}{\sin(4\alpha)}$ при условии $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Выражение $\frac{2}{\sin(4\alpha)}$ принимает наименьшее значение, когда его знаменатель $\sin(4\alpha)$ принимает наибольшее значение, так как числитель является положительной константой.

Определим область значений для аргумента синуса, $4\alpha$:

Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, то умножив все части неравенства на 4, получим $0 < 4\alpha < \pi$.

На интервале $(0, \pi)$ функция синус принимает значения от 0 до 1. Наибольшее значение функции $\sin(x)$ на этом интервале равно 1 и достигается при $x = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, наибольшее значение $\sin(4\alpha)$ равно 1, оно достигается при $4\alpha = \frac{\pi}{2}$, то есть при $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Это значение $\alpha$ удовлетворяет условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Итак, наименьшее значение всего выражения равно:

$\frac{2}{\max(\sin(4\alpha))} = \frac{2}{1} = 2$

Ответ: 2