Номер 4.168, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.168. Докажите тождество $3(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)-2(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)=1$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Рассмотрим каждое из выражений в скобках по отдельности.

1. Преобразуем выражение $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$.

Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Возведем обе части этого тождества в квадрат:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sin^2\alpha)^2 + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2 = 1$

$\sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha = 1$

Отсюда выразим сумму четвертых степеней синуса и косинуса:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

2. Теперь преобразуем выражение $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha$.

Представим это выражение как сумму кубов, где $a = \sin^2\alpha$ и $b = \cos^2\alpha$.

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha)$.

Поскольку $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1 \cdot (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha) = (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Теперь подставим найденное в пункте 1 выражение для $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

3. Подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$3(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) - 2(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) = 3(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 2(1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha)$.

Раскроем скобки и выполним упрощение:

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 3 - 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 2 + 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Приведем подобные слагаемые:

$(3 - 2) + (-6\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 1 + 0 = 1$.

В результате преобразований левая часть оказалась равной 1, что соответствует правой части тождества.

Ответ: Тождество $3(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) - 2(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) = 1$ доказано.