Номер 4.166, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.166. Найдите $tg \frac{\alpha}{2}$, если $sin\alpha+cos\alpha=\frac{1}{5}$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки, которые выражают синус и косинус угла $\alpha$ через тангенс половинного угла $\frac{\alpha}{2}$.

Формулы выглядят следующим образом:

$\sin\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

Для удобства введем замену. Пусть $t = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$. Тогда формулы примут вид:

$\sin\alpha = \frac{2t}{1 + t^2}$

$\cos\alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{5}$:

$\frac{2t}{1 + t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{1}{5}$

Так как знаменатели дробей в левой части одинаковы, мы можем их сложить:

$\frac{2t + 1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{1}{5}$

Теперь решим это уравнение. Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5 \cdot (2t + 1 - t^2) = 1 \cdot (1 + t^2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$10t + 5 - 5t^2 = 1 + t^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$t^2 + 5t^2 - 10t + 1 - 5 = 0$

$6t^2 - 10t - 4 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$3t^2 - 5t - 2 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Поскольку мы сделали замену $t = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$, найденные значения $t_1$ и $t_2$ являются возможными значениями для $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $2$ или $-\frac{1}{3}$.