Номер 4.159, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.159. Докажите, что выражение $\cos^2\alpha+\cos^2\varphi+\cos^2(\alpha-\varphi)-2\cos\alpha\times\cos\varphi\cdot\cos(\alpha-\varphi)$ не зависит от $\alpha$ и $\varphi$.

Чтобы доказать, что выражение не зависит от $α$ и $φ$, необходимо его упростить и показать, что оно равно константе.

Обозначим данное выражение через $E$:
$E = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi + \cos^2(\alpha - \varphi) - 2\cos\alpha \cos\varphi \cos(\alpha - \varphi)$.

Сгруппируем последние два слагаемых, вынеся $\cos(\alpha - \varphi)$ за скобки: $E = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi + \cos(\alpha - \varphi)[\cos(\alpha - \varphi) - 2\cos\alpha \cos\varphi]$.

Теперь преобразуем выражение в квадратных скобках, используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \varphi) = \cos\alpha \cos\varphi + \sin\alpha \sin\varphi$: $[\cos(\alpha - \varphi) - 2\cos\alpha \cos\varphi] = [\cos\alpha \cos\varphi + \sin\alpha \sin\varphi - 2\cos\alpha \cos\varphi] = [\sin\alpha \sin\varphi - \cos\alpha \cos\varphi]$.

Подставим полученный результат обратно в выражение для $E$: $E = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi + (\cos\alpha \cos\varphi + \sin\alpha \sin\varphi)(\sin\alpha \sin\varphi - \cos\alpha \cos\varphi)$.

Произведение в конце выражения имеет вид $(x+y)(y-x)$, что по формуле разности квадратов равно $y^2 - x^2$. В нашем случае $x = \cos\alpha \cos\varphi$ и $y = \sin\alpha \sin\varphi$. Таким образом: $(\cos\alpha \cos\varphi + \sin\alpha \sin\varphi)(\sin\alpha \sin\varphi - \cos\alpha \cos\varphi) = (\sin\alpha \sin\varphi)^2 - (\cos\alpha \cos\varphi)^2 = \sin^2\alpha \sin^2\varphi - \cos^2\alpha \cos^2\varphi$.

Подставим это в выражение для $E$: $E = \cos^2\alpha + \cos^2\varphi + \sin^2\alpha \sin^2\varphi - \cos^2\alpha \cos^2\varphi$.

Перегруппируем слагаемые для дальнейшего упрощения: $E = (\cos^2\alpha - \cos^2\alpha \cos^2\varphi) + (\cos^2\varphi + \sin^2\alpha \sin^2\varphi)$.

В первой скобке вынесем общий множитель $\cos^2\alpha$: $E = \cos^2\alpha(1 - \cos^2\varphi) + \cos^2\varphi + \sin^2\alpha \sin^2\varphi$.

Применим основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2\varphi = \sin^2\varphi$: $E = \cos^2\alpha \sin^2\varphi + \cos^2\varphi + \sin^2\alpha \sin^2\varphi$.

Снова сгруппируем слагаемые, на этот раз содержащие $\sin^2\varphi$: $E = (\cos^2\alpha \sin^2\varphi + \sin^2\alpha \sin^2\varphi) + \cos^2\varphi$.

Вынесем $\sin^2\varphi$ за скобки: $E = \sin^2\varphi(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \cos^2\varphi$.

Применим тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$: $E = \sin^2\varphi \cdot 1 + \cos^2\varphi = \sin^2\varphi + \cos^2\varphi$.

И, наконец, еще раз применив основное тригонометрическое тождество, получаем: $E = 1$.

Так как в результате упрощений мы получили константу 1, которая не зависит от значений $α$ и $φ$, утверждение доказано.

Ответ: Выражение тождественно равно 1, следовательно, оно не зависит от $α$ и $φ$.