Номер 4.152, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.152. Вычислите:

1) $\sin 18^\circ$; 2) $\sin 42^\circ$; 3) $\sin 15^\circ$; 4) $\sin \frac{3\pi}{10} \cdot \sin \frac{\pi}{10}$.

4.153. Упростите выражение!

1)Чтобы вычислить $ \sin 18^\circ $, обозначим $ x = 18^\circ $. Тогда $ 5x = 90^\circ $.
Это равенство можно записать как $ 2x + 3x = 90^\circ $, откуда $ 2x = 90^\circ - 3x $.
Возьмем синус от обеих частей равенства: $ \sin(2x) = \sin(90^\circ - 3x) $.
Используя формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) $, получаем: $ \sin(2x) = \cos(3x) $.
Теперь применим формулы двойного и тройного углов:
$ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $
$ \cos(3x) = 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) $
Подставим их в наше равенство:
$ 2 \sin(x) \cos(x) = 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) $.
Поскольку $ x = 18^\circ $, $ \cos(18^\circ) \neq 0 $, мы можем разделить обе части на $ \cos(x) $:
$ 2 \sin(x) = 4 \cos^2(x) - 3 $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) $:
$ 2 \sin(x) = 4(1 - \sin^2(x)) - 3 $
$ 2 \sin(x) = 4 - 4 \sin^2(x) - 3 $
$ 4 \sin^2(x) + 2 \sin(x) - 1 = 0 $.
Сделаем замену $ y = \sin(x) $ и решим квадратное уравнение $ 4y^2 + 2y - 1 = 0 $:
$ D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 4 + 16 = 20 $.
$ y = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} $.
Так как $ x = 18^\circ $ находится в первой четверти, $ \sin(18^\circ) > 0 $. Следовательно, мы выбираем положительный корень.
$ \sin(18^\circ) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5}-1}{4} $.

2)Для вычисления $ \sin 42^\circ $ представим $ 42^\circ $ как разность известных углов, например, $ 42^\circ = 60^\circ - 18^\circ $.
Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.
$ \sin(42^\circ) = \sin(60^\circ - 18^\circ) = \sin 60^\circ \cos 18^\circ - \cos 60^\circ \sin 18^\circ $.
Мы знаем значения для $ 60^\circ $: $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.
Из пункта 1) мы знаем, что $ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $.
Найдем $ \cos 18^\circ $ из основного тригонометрического тождества. Поскольку $ 18^\circ $ в первой четверти, $ \cos 18^\circ > 0 $.
$ \cos^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{16 - 6 + 2\sqrt{5}}{16} = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16} $.
$ \cos 18^\circ = \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} $.
Подставим все значения в формулу:
$ \sin 42^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} - (\sqrt{5}-1)}{8} = \frac{\sqrt{30 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{5} + 1}{8} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{30 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{5} + 1}{8} $.

3)Чтобы вычислить $ \sin 15^\circ $, представим $ 15^\circ $ как разность табличных углов $ 45^\circ $ и $ 30^\circ $: $ 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ $.
Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.
$ \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ $.
Значения тригонометрических функций для $ 30^\circ $ и $ 45^\circ $ известны:
$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставим эти значения в формулу:
$ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.

4)Вычислим произведение $ \sin\frac{3\pi}{10} \cdot \sin\frac{\pi}{10} $.
Сначала переведем углы из радиан в градусы. Зная, что $ \pi = 180^\circ $:
$ \frac{\pi}{10} = \frac{180^\circ}{10} = 18^\circ $
$ \frac{3\pi}{10} = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ $
Таким образом, нам нужно вычислить $ \sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ $.
Из пункта 1) мы знаем, что $ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $.
Найдем значение $ \sin 54^\circ $. Используем формулу приведения: $ \sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ $.
Теперь найдем $ \cos 36^\circ $ через $ \sin 18^\circ $ по формуле косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $:
$ \cos 36^\circ = \cos(2 \cdot 18^\circ) = 1 - 2\sin^2 18^\circ = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = 1 - 2\frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} = \frac{8 - (6 - 2\sqrt{5})}{8} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} $.
Итак, $ \sin 54^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4} $.
Теперь перемножим значения:
$ \sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} $.
Это произведение соответствует формуле разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:
$ \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4 \cdot 4} = \frac{5-1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.