Номер 4.156, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.156. Преобразуйте в произведение:

1) $ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $

2) $ \cos2\varphi + \sin2\varphi \cdot \text{tg}\varphi $

3) $ 2 + \text{tg}2\varphi + \text{ctg}2\varphi $

4) $ 1 - 0,25\sin^2 2\varphi - \cos^2 2\varphi \cos^4 \varphi $

1)

Для преобразования суммы тангенсов воспользуемся формулой $tg(\alpha) + tg(\beta) = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}$.
Пусть $\alpha = x + \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{4}$.
Тогда сумма аргументов $\alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{4}) + (x - \frac{\pi}{4}) = 2x$.
Подставим значения в формулу:
$tg(x + \frac{\pi}{4}) + tg(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(2x)}{\cos(x + \frac{\pi}{4})\cos(x - \frac{\pi}{4})}$.
Знаменатель можно упростить, используя формулу произведения косинусов $\cos(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$. Разность аргументов $\alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{4}) - (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$.
$\cos(x + \frac{\pi}{4})\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + 0) = \frac{1}{2}\cos(2x)$.
Подставим упрощенный знаменатель обратно в выражение:
$\frac{\sin(2x)}{\frac{1}{2}\cos(2x)} = 2\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 2tg(2x)$.

Ответ: $2tg(2x)$.

2)

Заменим $tg(\phi)$ на отношение синуса к косинусу:
$\cos(2\phi) + \sin(2\phi)tg(\phi) = \cos(2\phi) + \sin(2\phi)\frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)}$.
Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{\cos(2\phi)\cos(\phi) + \sin(2\phi)\sin(\phi)}{\cos(\phi)}$.
Числитель представляет собой правую часть формулы косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$, где $\alpha = 2\phi$ и $\beta = \phi$.
$\frac{\cos(2\phi - \phi)}{\cos(\phi)} = \frac{\cos(\phi)}{\cos(\phi)} = 1$.

Ответ: $1$.

3)

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$2 + tg(2\phi) + ctg(2\phi) = 2 + \frac{\sin(2\phi)}{\cos(2\phi)} + \frac{\cos(2\phi)}{\sin(2\phi)}$.
Сложим дроби, приведя их к общему знаменателю:
$tg(2\phi) + ctg(2\phi) = \frac{\sin^2(2\phi) + \cos^2(2\phi)}{\sin(2\phi)\cos(2\phi)} = \frac{1}{\sin(2\phi)\cos(2\phi)}$.
Используя формулу синуса двойного угла, $\sin(4\phi) = 2\sin(2\phi)\cos(2\phi)$, преобразуем знаменатель: $\sin(2\phi)\cos(2\phi) = \frac{1}{2}\sin(4\phi)$.
Таким образом, $tg(2\phi) + ctg(2\phi) = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(4\phi)} = \frac{2}{\sin(4\phi)}$.
Подставим результат в исходное выражение:
$2 + \frac{2}{\sin(4\phi)} = 2(1 + \frac{1}{\sin(4\phi)}) = 2\frac{\sin(4\phi) + 1}{\sin(4\phi)}$.
Для преобразования числителя используем формулу $1 + \sin(\alpha) = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$.
В нашем случае $\alpha = 4\phi$, поэтому $1 + \sin(4\phi) = 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - 2\phi)$.
Окончательное выражение:
$2\frac{2\cos^2(\frac{\pi}{4} - 2\phi)}{\sin(4\phi)} = \frac{4\cos^2(\frac{\pi}{4} - 2\phi)}{\sin(4\phi)}$.

Ответ: $\frac{4\cos^2(\frac{\pi}{4} - 2\phi)}{\sin(4\phi)}$.

4)

Упростим выражение, начав с члена $0,25\sin^2(2\phi)$.
$0,25\sin^2(2\phi) = \frac{1}{4}(2\sin(\phi)\cos(\phi))^2 = \frac{1}{4}(4\sin^2(\phi)\cos^2(\phi)) = \sin^2(\phi)\cos^2(\phi)$.
Исходное выражение примет вид:
$1 - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) - \cos^2(2\phi)\cos^4(\phi)$.
Заменим $\cos^2(2\phi)$ на $1 - \sin^2(2\phi) = 1 - 4\sin^2(\phi)\cos^2(\phi)$:
$1 - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) - (1 - 4\sin^2(\phi)\cos^2(\phi))\cos^4(\phi)$.
Раскроем скобки:
$1 - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) - \cos^4(\phi) + 4\sin^2(\phi)\cos^6(\phi)$.
Сгруппируем члены: $(1 - \cos^4(\phi)) - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) + 4\sin^2(\phi)\cos^6(\phi)$.
Разложим разность квадратов $1 - \cos^4(\phi) = (1 - \cos^2(\phi))(1 + \cos^2(\phi)) = \sin^2(\phi)(1 + \cos^2(\phi))$.
$\sin^2(\phi)(1 + \cos^2(\phi)) - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) + 4\sin^2(\phi)\cos^6(\phi)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\sin^2(\phi) + \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) - \sin^2(\phi)\cos^2(\phi) + 4\sin^2(\phi)\cos^6(\phi) = \sin^2(\phi) + 4\sin^2(\phi)\cos^6(\phi)$.
Вынесем общий множитель $\sin^2(\phi)$ за скобки:
$\sin^2(\phi)(1 + 4\cos^6(\phi))$.

Ответ: $\sin^2(\phi)(1 + 4\cos^6(\phi))$.