Номер 4.155, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.155. Если A, B, C – углы треугольника, то докажите тождества:

1) $tgA+tgB+tgC=tgA tgB tgC$;

2) $cosA+cosB+cosC=1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$;

3) $cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA cosB cosC$;

4) $sin^2A+sin^2B+sin^2C=2+2cosA cosB cosC$.

1) Поскольку A, B и C — углы треугольника, их сумма равна $\pi$: $A + B + C = \pi$. Отсюда следует, что $A + B = \pi - C$.
Возьмем тангенс от обеих частей этого равенства: $\tan(A + B) = \tan(\pi - C)$.
Используем формулу тангенса суммы углов $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ и свойство тангенса $\tan(\pi - z) = -\tan z$. Получаем: $\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C$.
Это тождество справедливо, если ни один из углов не равен $\pi/2$, то есть треугольник не является прямоугольным. В таком случае знаменатели не обращаются в ноль и тангенсы определены.
Умножим обе части на знаменатель $(1 - \tan A \tan B)$: $\tan A + \tan B = -\tan C (1 - \tan A \tan B)$.
Раскроем скобки в правой части: $\tan A + \tan B = -\tan C + \tan A \tan B \tan C$.
Перенесем $-\tan C$ в левую часть, чтобы получить доказываемое тождество: $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $\cos A + \cos B + \cos C = ( \cos A + \cos B ) + \cos C = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} + \cos C$.
Из условия $A+B+C = \pi$ следует, что $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi - C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$. Используя формулу приведения, получаем $\cos\frac{A+B}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \sin\frac{C}{2}$.
Подставим это в наше выражение: $2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} + \cos C$.
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos C = 1 - 2\sin^2\frac{C}{2}$: $2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} + (1 - 2\sin^2\frac{C}{2}) = 1 + 2\sin\frac{C}{2}(\cos\frac{A-B}{2} - \sin\frac{C}{2})$.
Теперь преобразуем $\sin\frac{C}{2}$. Из $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}$ следует, что $\sin\frac{C}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}) = \cos\frac{A+B}{2}$.
Подставим это в скобки: $1 + 2\sin\frac{C}{2}(\cos\frac{A-B}{2} - \cos\frac{A+B}{2})$.
Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$ к выражению в скобках: $\cos\frac{A-B}{2} - \cos\frac{A+B}{2} = -2\sin\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\sin\frac{\frac{A-B}{2}-\frac{A+B}{2}}{2} = -2\sin\frac{A}{2}\sin(-\frac{B}{2}) = 2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}$.
Подставим результат в основное выражение: $1 + 2\sin\frac{C}{2}(2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}) = 1 + 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть, используя формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$: $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = \frac{1+\cos(2A)}{2} + \frac{1+\cos(2B)}{2} + \cos^2 C = 1 + \frac{1}{2}(\cos(2A) + \cos(2B)) + \cos^2 C$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $\cos(2A) + \cos(2B) = 2\cos(A+B)\cos(A-B)$.
Подставим это в выражение: $1 + \frac{1}{2}(2\cos(A+B)\cos(A-B)) + \cos^2 C = 1 + \cos(A+B)\cos(A-B) + \cos^2 C$.
Из условия $A+B+C = \pi$ следует, что $A+B = \pi - C$, и, следовательно, $\cos(A+B) = \cos(\pi-C) = -\cos C$.
Подставим это: $1 - \cos C \cos(A-B) + \cos^2 C$.
Сгруппируем слагаемые и вынесем $-\cos C$ за скобки: $1 - \cos C(\cos(A-B) - \cos C)$.
Заменим $\cos C$ в скобках. Поскольку $C = \pi - (A+B)$, то $\cos C = \cos(\pi-(A+B)) = -\cos(A+B)$. $1 - \cos C(\cos(A-B) - (-\cos(A+B))) = 1 - \cos C(\cos(A-B) + \cos(A+B))$.
Используем формулу преобразования суммы косинусов $\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2\cos A \cos B$: $1 - \cos C(2\cos A \cos B) = 1 - 2\cos A \cos B \cos C$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Это тождество можно доказать, используя предыдущее. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = (1-\cos^2 A) + (1-\cos^2 B) + (1-\cos^2 C) = 3 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)$.
Используя результат из пункта 3), $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2\cos A \cos B \cos C$: $3 - (1 - 2\cos A \cos B \cos C) = 3 - 1 + 2\cos A \cos B \cos C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C$.
Проведем также независимое доказательство. Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$:
$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \frac{1-\cos(2A)}{2} + \frac{1-\cos(2B)}{2} + \sin^2 C = 1 - \frac{1}{2}(\cos(2A) + \cos(2B)) + \sin^2 C$.
Применим формулу суммы косинусов: $1 - \frac{1}{2}(2\cos(A+B)\cos(A-B)) + \sin^2 C = 1 - \cos(A+B)\cos(A-B) + \sin^2 C$.
Так как $A+B = \pi - C$, то $\cos(A+B) = -\cos C$. $1 - (-\cos C)\cos(A-B) + \sin^2 C = 1 + \cos C \cos(A-B) + \sin^2 C$.
Заменим $\sin^2 C = 1 - \cos^2 C$: $1 + \cos C \cos(A-B) + 1 - \cos^2 C = 2 + \cos C(\cos(A-B) - \cos C)$.
Заменим $\cos C$ в скобках на $-\cos(A+B)$: $2 + \cos C(\cos(A-B) - (-\cos(A+B))) = 2 + \cos C(\cos(A-B) + \cos(A+B))$.
Используем формулу $2\cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$: $2 + \cos C(2\cos A \cos B) = 2 + 2\cos A \cos B \cos C$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.