Номер 4.158, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.158. Докажите тождества:

1) $\frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \text{tg}^4\alpha;$

2) $\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha = \frac{5 + 3 \cos 4\alpha}{8};$

3) $16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha+5\sin\alpha=\sin5\alpha;$

4) $\cos^8\alpha-\sin^8\alpha=0,25\cos2\alpha(3+\cos4\alpha).$

1) Докажем тождество $\frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \text{tg}^4\alpha$.

Преобразуем числитель и знаменатель левой части, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha - 1$.

Преобразование числителя:

$3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 3 - 4 \cos 2\alpha + (2\cos^2 2\alpha - 1) = 2\cos^2 2\alpha - 4\cos 2\alpha + 2 = 2(\cos^2 2\alpha - 2\cos 2\alpha + 1) = 2(\cos 2\alpha - 1)^2$.

Используем формулу $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$, из которой следует, что $\cos 2\alpha - 1 = -2\sin^2\alpha$.

Тогда числитель равен: $2(-2\sin^2\alpha)^2 = 2(4\sin^4\alpha) = 8\sin^4\alpha$.

Преобразование знаменателя:

$3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 3 + 4 \cos 2\alpha + (2\cos^2 2\alpha - 1) = 2\cos^2 2\alpha + 4\cos 2\alpha + 2 = 2(\cos^2 2\alpha + 2\cos 2\alpha + 1) = 2(\cos 2\alpha + 1)^2$.

Используем формулу $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$, из которой следует, что $\cos 2\alpha + 1 = 2\cos^2\alpha$.

Тогда знаменатель равен: $2(2\cos^2\alpha)^2 = 2(4\cos^4\alpha) = 8\cos^4\alpha$.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{8\sin^4\alpha}{8\cos^4\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} = \text{tg}^4\alpha$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha = \frac{5 + 3 \cos 4\alpha}{8}$.

Преобразуем левую часть, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a=\cos^2\alpha$ и $b=\sin^2\alpha$.

$\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha = (\cos^2\alpha)^3 + (\sin^2\alpha)^3 = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)(\cos^4\alpha - \cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha)$.

Так как $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, выражение упрощается до:

$\cos^4\alpha - \cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha$.

Дополним до полного квадрата: $(\cos^4\alpha + 2\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha) - 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 - 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha = 1 - 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$. Тогда $\cos^2\alpha\sin^2\alpha = (\frac{1}{2}\sin 2\alpha)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha$.

Подставляем обратно: $1 - 3 \cdot \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2\alpha$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Для $x=2\alpha$ получаем $\sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2}$.

Подставляем в наше выражение:

$1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} = 1 - \frac{3 - 3\cos 4\alpha}{8} = \frac{8 - (3 - 3\cos 4\alpha)}{8} = \frac{8 - 3 + 3\cos 4\alpha}{8} = \frac{5 + 3\cos 4\alpha}{8}$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $16\sin^5\alpha - 20\sin^3\alpha + 5\sin\alpha = \sin 5\alpha$.

Для доказательства преобразуем правую часть. Воспользуемся формулой Муавра: $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$. При $n=5$ имеем:

$\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha = (\cos\alpha + i\sin\alpha)^5$.

Раскроем правую часть по формуле бинома Ньютона:

$(\cos\alpha + i\sin\alpha)^5 = \cos^5\alpha + 5\cos^4\alpha(i\sin\alpha) + 10\cos^3\alpha(i\sin\alpha)^2 + 10\cos^2\alpha(i\sin\alpha)^3 + 5\cos\alpha(i\sin\alpha)^4 + (i\sin\alpha)^5$.

Упростим, учитывая, что $i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i$:

$(\cos^5\alpha - 10\cos^3\alpha\sin^2\alpha + 5\cos\alpha\sin^4\alpha) + i(5\cos^4\alpha\sin\alpha - 10\cos^2\alpha\sin^3\alpha + \sin^5\alpha)$.

Приравнивая мнимые части, получаем выражение для $\sin 5\alpha$:

$\sin 5\alpha = 5\cos^4\alpha\sin\alpha - 10\cos^2\alpha\sin^3\alpha + \sin^5\alpha$.

Выразим $\cos^2\alpha$ через $\sin^2\alpha$ по формуле $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:

$\sin 5\alpha = 5(1-\sin^2\alpha)^2\sin\alpha - 10(1-\sin^2\alpha)\sin^3\alpha + \sin^5\alpha$.

Раскроем скобки:

$\sin 5\alpha = 5\sin\alpha(1 - 2\sin^2\alpha + \sin^4\alpha) - (10\sin^3\alpha - 10\sin^5\alpha) + \sin^5\alpha$

$\sin 5\alpha = 5\sin\alpha - 10\sin^3\alpha + 5\sin^5\alpha - 10\sin^3\alpha + 10\sin^5\alpha + \sin^5\alpha$.

Приведем подобные члены:

$\sin 5\alpha = 16\sin^5\alpha - 20\sin^3\alpha + 5\sin\alpha$.

Правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\cos^8\alpha - \sin^8\alpha = 0,25\cos 2\alpha (3 + \cos 4\alpha)$.

Преобразуем левую часть, применяя формулу разности квадратов:

$\cos^8\alpha - \sin^8\alpha = (\cos^4\alpha - \sin^4\alpha)(\cos^4\alpha + \sin^4\alpha)$.

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Первый множитель: $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = (\cos 2\alpha) \cdot 1 = \cos 2\alpha$.

Второй множитель: $\cos^4\alpha + \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2(\sin\alpha\cos\alpha)^2 = 1 - 2(\frac{\sin 2\alpha}{2})^2 = 1 - \frac{2\sin^2 2\alpha}{4} = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha$.

Таким образом, левая часть равна: $\cos 2\alpha \left(1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha\right)$.

Теперь преобразуем правую часть тождества, заменив $0,25$ на $\frac{1}{4}$ и используя формулу $\cos 4\alpha = 1 - 2\sin^2 2\alpha$:

$\frac{1}{4}\cos 2\alpha (3 + \cos 4\alpha) = \frac{1}{4}\cos 2\alpha (3 + (1 - 2\sin^2 2\alpha)) = \frac{1}{4}\cos 2\alpha (4 - 2\sin^2 2\alpha)$.

Вынесем 4 за скобки в последнем выражении:

$\frac{1}{4}\cos 2\alpha \cdot 4\left(1 - \frac{2}{4}\sin^2 2\alpha\right) = \cos 2\alpha \left(1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha\right)$.

Левая и правая части тождества равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.