Номер 4.169, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.169. Докажите, что значение выражения $\sin^2 2\varphi \cdot 0,5 \cos 4\varphi + 2\sin^2 \varphi + \cos 2\varphi$ не зависит от $\varphi$.

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от $\phi$, необходимо это выражение упростить. Обозначим его как $E$.

Исходное выражение: $E = \sin^2 2\phi \cdot 0,5\cos 4\phi + 2\sin^2\phi + \cos2\phi$.

В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Наиболее вероятно, что между членами $\sin^2 2\phi$ и $0,5\cos 4\phi$ пропущен знак сложения `+`. При таком предположении задача имеет логичное решение, приводящее к константе. Будем исходить из скорректированного выражения:

$E = \sin^2 2\phi + 0,5\cos 4\phi + 2\sin^2\phi + \cos 2\phi$.

Сначала преобразуем сумму последних двух слагаемых, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$:

$2\sin^2\phi + \cos 2\phi = 2\sin^2\phi + (1 - 2\sin^2\phi) = 1$.

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для $E$:

$E = \sin^2 2\phi + 0,5\cos 4\phi + 1$.

Далее, преобразуем $\cos 4\phi$. Применим ту же формулу косинуса двойного угла, но для угла $2\phi$, то есть $\cos(2 \cdot 2\phi)$:

$\cos 4\phi = 1 - 2\sin^2 2\phi$.

Подставим это выражение в нашу формулу для $E$:

$E = \sin^2 2\phi + 0,5(1 - 2\sin^2 2\phi) + 1$.

Раскроем скобки, умножив $0,5$ на каждый член в скобках:

$E = \sin^2 2\phi + 0,5 - 0,5 \cdot 2\sin^2 2\phi + 1$.

$E = \sin^2 2\phi + 0,5 - \sin^2 2\phi + 1$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $\sin^2 2\phi$ и $-\sin^2 2\phi$ взаимно уничтожаются:

$E = 0,5 + 1 = 1,5$.

Таким образом, мы показали, что значение исходного выражения (с учетом исправленной опечатки) равно константе 1,5 и, следовательно, не зависит от значения переменной $\phi$.

Ответ: Значение выражения равно 1,5, следовательно, оно не зависит от $\phi$, что и требовалось доказать.