Номер 4.167, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.167. Найдите сумму:

1) $\cos3\alpha+\cos5\alpha+\cos7\alpha+\cos9\alpha;$

2) $\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x}.$

1) Для нахождения суммы $cos3\alpha+cos5\alpha+cos7\alpha+cos9\alpha$ воспользуемся формулой суммы косинусов: $cosA + cosB = 2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$. Сгруппируем слагаемые попарно: первое с четвертым и второе с третьим.

$(cos9\alpha + cos3\alpha) + (cos7\alpha + cos5\alpha)$

Применим формулу к каждой паре:

$cos9\alpha + cos3\alpha = 2cos\frac{9\alpha+3\alpha}{2}cos\frac{9\alpha-3\alpha}{2} = 2cos6\alpha \cdot cos3\alpha$

$cos7\alpha + cos5\alpha = 2cos\frac{7\alpha+5\alpha}{2}cos\frac{7\alpha-5\alpha}{2} = 2cos6\alpha \cdot cos\alpha$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$2cos6\alpha \cdot cos3\alpha + 2cos6\alpha \cdot cos\alpha$

Вынесем общий множитель $2cos6\alpha$ за скобки:

$2cos6\alpha(cos3\alpha + cos\alpha)$

Снова применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$cos3\alpha + cos\alpha = 2cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2cos2\alpha \cdot cos\alpha$

Подставим результат обратно:

$2cos6\alpha \cdot (2cos2\alpha \cdot cos\alpha) = 4cos\alpha \cdot cos2\alpha \cdot cos6\alpha$

Ответ: $4cos\alpha \cdot cos2\alpha \cdot cos6\alpha$.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x}$, преобразуем числитель и знаменатель по отдельности, используя формулы суммы синусов и косинусов.

Преобразуем числитель, сгруппировав слагаемые: $(\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x)$.

Применяя формулу $sinA + sinB = 2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$:

$\sin 4x + \sin x = 2\sin\frac{4x+x}{2}\cos\frac{4x-x}{2} = 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}$

$\sin 3x + \sin 2x = 2\sin\frac{3x+2x}{2}\cos\frac{3x-2x}{2} = 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}$

Числитель: $2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2\sin\frac{5x}{2}(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2})$.

Преобразуем сумму косинусов в скобках: $\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2} = 2\cos\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2} = 2\cos x \cos\frac{x}{2}$.

Итого числитель равен: $2\sin\frac{5x}{2} \cdot 2\cos x \cos\frac{x}{2} = 4\sin\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2}$.

Теперь преобразуем знаменатель, сгруппировав слагаемые: $(\cos 4x + \cos x) + (\cos 3x + \cos 2x)$.

Применяя формулу $cosA + cosB = 2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$:

$\cos 4x + \cos x = 2\cos\frac{4x+x}{2}\cos\frac{4x-x}{2} = 2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}$

$\cos 3x + \cos 2x = 2\cos\frac{3x+2x}{2}\cos\frac{3x-2x}{2} = 2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}$

Знаменатель: $2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2\cos\frac{5x}{2}(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2})$.

Сумма косинусов в скобках такая же, как и в числителе: $2\cos x \cos\frac{x}{2}$.

Итого знаменатель равен: $2\cos\frac{5x}{2} \cdot 2\cos x \cos\frac{x}{2} = 4\cos\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{4\sin\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2}}{4\cos\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2}} = \frac{\sin\frac{5x}{2}}{\cos\frac{5x}{2}} = tg\frac{5x}{2}$

Преобразование справедливо при условии, что знаменатель не равен нулю.

Ответ: $tg\frac{5x}{2}$.