Страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.9. В урне имеются шары. Определите событие $A$, если событие $A$ – событие «в урне имеется хотя бы один белый шар».

В условии задачи событие А уже определено как «в урне имеется хотя бы один белый шар». Задание "определить событие А" в данном контексте, вероятно, подразумевает его более детальное описание с точки зрения теории вероятностей или нахождение противоположного ему события.

Событие в теории вероятностей — это множество исходов эксперимента. Пусть в урне находится $n$ шаров. Эксперимент заключается в наблюдении состава этих шаров. Исход — это конкретный набор цветов всех $n$ шаров.

Событие А наступает, если среди всех шаров в урне присутствует как минимум один белый шар. Если обозначить количество белых шаров в урне через $k$, то событие А соответствует выполнению условия $k \ge 1$. Это означает, что число белых шаров может быть равно $1, 2, 3, \ldots, n$.

Для анализа таких событий, как «хотя бы один», часто бывает полезно рассмотреть противоположное (дополнительное) событие. Противоположное событие к событию А обозначается как $\overline{A}$.

Противоположным к событию «имеется хотя бы один белый шар» является событие «нет ни одного белого шара».

Следовательно, событие $\overline{A}$ можно сформулировать так: «в урне нет белых шаров», что то же самое, что «все шары в урне — не белые». Математически это соответствует условию $k = 0$.

Таким образом, событие А представляет собой объединение всех возможных исходов, при которых в урне есть 1 белый шар, 2 белых шара, и так далее, вплоть до $n$ белых шаров.

Ответ: Событие А, «в урне имеется хотя бы один белый шар», — это событие, означающее, что количество белых шаров в урне больше или равно единице ($k \ge 1$). Противоположным ему является событие $\overline{A}$ — «в урне нет ни одного белого шара» ($k = 0$).

5.10. Имеется два лотерейных билета из двух разных лотерейных игр (по одному из каждой игры). А – событие «выпал выигрыш по первому билету», а В – событие «выпал выигрыш по второму билету». Каков смысл события:

1) $P=A\bar{B}+\bar{A}B$;

2) $Q=A\bar{B}+\bar{A}B+AB?$

В данной задаче используются основные операции над событиями в теории вероятностей. Расшифруем их применительно к условию:
$A$ — событие «выпал выигрыш по первому билету».
$B$ — событие «выпал выигрыш по второму билету».
$\overline{A}$ и $\overline{B}$ — противоположные события, то есть «выигрыш не выпал по первому билету» и «выигрыш не выпал по второму билету» соответственно.
Произведение событий, например $XY$, означает их совместное наступление (событие $X$ и событие $Y$).
Сумма событий, например $X+Y$, означает наступление хотя бы одного из них (событие $X$ или событие $Y$).

1) $P=A\overline{B} + \overline{A}B$

Данное выражение является суммой двух несовместных событий:
Первое слагаемое $A\overline{B}$ означает, что произошло событие $A$ (выигрыш по первому билету) и событие $\overline{B}$ (отсутствие выигрыша по второму билету). Смысл этого события: «выиграл только первый билет».
Второе слагаемое $\overline{A}B$ означает, что произошло событие $\overline{A}$ (отсутствие выигрыша по первому билету) и событие $B$ (выигрыш по второму билету). Смысл этого события: «выиграл только второй билет».
Сумма этих двух событий $P = A\overline{B} + \overline{A}B$ означает, что произошло либо первое, либо второе. То есть, выиграл либо только первый билет, либо только второй.
Ответ: Событие $P$ означает, что «выиграл ровно один из двух билетов».

2) $Q=A\overline{B} + \overline{A}B + AB$

Данное выражение является суммой трёх несовместных событий:
$A\overline{B}$ — «выиграл только первый билет».
$\overline{A}B$ — «выиграл только второй билет».
$AB$ — произошло событие $A$ (выигрыш по первому билету) и событие $B$ (выигрыш по второму билету). Смысл этого события: «выиграли оба билета».
Событие $Q$ представляет собой сумму этих трех исходов. Оно наступает, если выиграл только первый билет, или только второй, или оба билета вместе. Объединив эти три случая, мы получим событие, которое означает, что был хотя бы один выигрышный билет. Это событие также можно записать как $A+B$.
Ответ: Событие $Q$ означает, что «выиграл хотя бы один из двух билетов».

5.11. Даны случайные события A, B и C. Каков смысл равенства:

1) $ABC=A$;

2) $A+B+C=A$?

Для решения этой задачи воспользуемся аналогией между операциями над событиями и операциями над множествами. Пусть $A, B, C$ — это множества элементарных исходов, соответствующих данным событиям.

• Произведение событий $ABC$ соответствует пересечению множеств $A \cap B \cap C$. Событие $ABC$ наступает, когда наступают все три события $A$, $B$ и $C$ одновременно.
• Сумма событий $A+B+C$ соответствует объединению множеств $A \cup B \cup C$. Событие $A+B+C$ наступает, когда наступает хотя бы одно из событий $A$, $B$ или $C$.

1) ABC=A;

Равенство $ABC=A$ в терминах теории множеств записывается как $A \cap B \cap C = A$.

Пересечение нескольких множеств всегда является подмножеством каждого из этих множеств. В частности, $A \cap B \cap C \subseteq A$. Для того чтобы выполнялось равенство $A \cap B \cap C = A$, необходимо, чтобы и множество $A$ было подмножеством пересечения $A \cap B \cap C$, то есть $A \subseteq A \cap B \cap C$.

Это означает, что любой элементарный исход, принадлежащий множеству $A$, должен также принадлежать и множеству $A \cap B \cap C$. А для того чтобы исход принадлежал пересечению $A \cap B \cap C$, он должен принадлежать каждому из множеств $A$, $B$ и $C$.

Таким образом, из того, что исход принадлежит $A$, следует, что он принадлежит и $B$, и $C$. В терминах событий это означает, что наступление события $A$ с необходимостью влечет за собой наступление событий $B$ и $C$. Математически это записывается как $A \subseteq B$ и $A \subseteq C$.

Это можно проиллюстрировать с помощью диаграммы Венна, где область, соответствующая событию $A$, полностью находится внутри пересечения областей $B$ и $C$.

Ответ: Равенство $ABC=A$ означает, что из наступления события $A$ следует наступление событий $B$ и $C$.

2) A+B+C=A?

Равенство $A+B+C=A$ в терминах теории множеств записывается как $A \cup B \cup C = A$.

Любое множество является подмножеством объединения этого множества с другими. В частности, $A \subseteq A \cup B \cup C$. Для того чтобы выполнялось равенство $A \cup B \cup C = A$, необходимо, чтобы и объединение $A \cup B \cup C$ было подмножеством $A$, то есть $A \cup B \cup C \subseteq A$.

Это означает, что любой элементарный исход, принадлежащий объединению $A \cup B \cup C$, должен также принадлежать и множеству $A$. Объединению $A \cup B \cup C$ принадлежат все исходы из $A$, все исходы из $B$ и все исходы из $C$.

Отсюда следует, что множество $B$ должно быть подмножеством $A$ ($B \subseteq A$), и множество $C$ также должно быть подмножеством $A$ ($C \subseteq A$). В терминах событий это означает, что наступление события $B$ влечет за собой наступление события $A$, и наступление события $C$ также влечет за собой наступление события $A$.

Это можно проиллюстрировать с помощью диаграммы Венна, где области, соответствующие событиям $B$ и $C$, полностью находятся внутри области $A$.

Ответ: Равенство $A+B+C=A$ означает, что наступление любого из событий $B$ или $C$ влечет за собой наступление события $A$.

5.12. A, B и C – данные случайные события. Выразите через A, B и C событие:

1) «наступило только событие А»: $A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

2) «наступили события А и В, а событие С не наступило»: $A \cap B \cap \overline{C}$

3) «все три события наступили»: $A \cap B \cap C$

4) «хотя бы одно из этих событий наступило»: $A \cup B \cup C$

5) «хотя бы 2 из этих событий наступили»: $(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$

6) «наступило только одно из этих событий»: $(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)$

7) «наступили только 2 из этих событий»: $(A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \cup (\overline{A} \cap B \cap C)$

8) «ни одно из этих событий не наступило»: $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

9) «наступило не более двух из этих событий»: $\overline{A \cap B \cap C}$

Для выражения сложных событий через основные события A, B и C используются операции алгебры событий:
• Сумма (объединение) событий $A+B$ (или $A \cup B$) означает, что наступило хотя бы одно из событий A или B.
• Произведение (пересечение) событий $AB$ (или $A \cap B$) означает, что наступили оба события A и B.
• Противоположное событие $\bar{A}$ означает, что событие A не наступило.

1) «наступило только событие A»
Это событие означает, что событие A произошло, но при этом события B и C не произошли. Ненаступление события B выражается как $\bar{B}$, а ненаступление C — как $\bar{C}$. Так как все эти условия должны выполниться одновременно, мы используем операцию произведения событий.
Ответ: $A\bar{B}\bar{C}$

2) «наступили события A и B, а событие C не наступило»
Данное событие требует одновременного наступления событий A и B и ненаступления события C. Это соответствует произведению событий A, B и $\bar{C}$.
Ответ: $AB\bar{C}$

3) «все три события наступили»
Это событие означает, что наступили и A, и B, и C. Это прямое произведение трех данных событий.
Ответ: $ABC$

4) «хотя бы одно из этих событий наступило»
Это событие означает, что наступило или A, или B, или C (или любая их комбинация). Это соответствует сумме (объединению) трех событий.
Ответ: $A+B+C$

5) «хотя бы 2 из этих событий наступили»
Это событие произойдет, если наступит любая из следующих комбинаций: (A и B), или (A и C), или (B и C). Сюда также входит случай, когда наступают все три события. Событие выражается как сумма произведений пар событий.
Ответ: $AB+AC+BC$

6) «наступило только одно из этих событий»
Это событие является суммой трех несовместных событий: «наступило только A», «наступило только B» и «наступило только C». Каждое из этих элементарных событий является произведением одного события и двух противоположных к остальным.
Ответ: $A\bar{B}\bar{C} + \bar{A}B\bar{C} + \bar{A}\bar{B}C$

7) «наступили только 2 из этих событий»
Это событие является суммой трех несовместных событий: «наступили A и B, но не C», «наступили A и C, но не B» и «наступили B и C, но не A».
Ответ: $AB\bar{C} + A\bar{B}C + \bar{A}BC$

8) «ни одно из этих событий не наступило»
Это событие означает, что не наступило событие A, и не наступило событие B, и не наступило событие C. Это произведение трех противоположных событий. Также это событие является противоположным событию «наступило хотя бы одно» (пункт 4).
Ответ: $\bar{A}\bar{B}\bar{C}$

9) «наступило не более двух из этих событий»
Это событие означает, что наступило 0, 1 или 2 события. Проще всего определить это событие как противоположное тому, при котором наступают все три события (пункт 3).
Ответ: $\overline{ABC}$

5.13. Упростите выражение:

1) $A+B+C$;

2) $(A+B)\cdot C$;

3) $A \cdot B+C$,

если $A \subset B$.

В данной задаче требуется упростить выражения с операциями над множествами при условии, что множество $A$ является подмножеством множества $B$ ($A \subset B$). В принятых обозначениях знак `+` соответствует операции объединения множеств ($ \cup $), а знак `·` — операции пересечения множеств ($ \cap $).

Условие $A \subset B$ означает, что каждый элемент множества A также является элементом множества B. Визуально это можно представить с помощью диаграммы Эйлера-Венна, где область, обозначающая множество A, полностью находится внутри области, обозначающей множество B.

Из условия $A \subset B$ следуют два ключевых тождества, которые мы будем использовать для упрощения: объединение $A \cup B = B$ (или $A + B = B$) и пересечение $A \cap B = A$ (или $A \cdot B = A$). Первое тождество верно, так как все элементы A уже содержатся в B. Второе верно, так как общими элементами для A и B являются в точности все элементы множества A.

Теперь упростим каждое выражение.

1) A+B+C

Это выражение соответствует $A \cup B \cup C$. Используя ассоциативность объединения, получаем $(A \cup B) \cup C$.

Так как $A \subset B$, то $A \cup B = B$.

Подставляя это в выражение, получаем: $(A \cup B) \cup C = B \cup C$.

В исходных обозначениях: $A+B+C = B+C$.

Ответ: $B+C$

2) (A+B)·C

Это выражение соответствует $(A \cup B) \cap C$.

Сначала упростим выражение в скобках. Из условия $A \subset B$ следует, что $A \cup B = B$.

Подставляя, получаем: $(A \cup B) \cap C = B \cap C$.

В исходных обозначениях: $(A+B) \cdot C = B \cdot C$.

Ответ: $B \cdot C$

3) A·B+C

Это выражение соответствует $(A \cap B) \cup C$.

Сначала упростим пересечение. Из условия $A \subset B$ следует, что $A \cap B = A$.

Подставляя, получаем: $(A \cap B) \cup C = A \cup C$.

В исходных обозначениях: $A \cdot B + C = A+C$.

Ответ: $A+C$

5.14. Брошены две игральные кости. Сколько элементов содержит пространство элементарных событий?

Пространство элементарных событий — это множество всех возможных уникальных исходов эксперимента. В данном случае эксперимент состоит в броске двух игральных костей.

При броске одной игральной кости возможно 6 исходов, так как на ее гранях нанесены числа от 1 до 6. Обозначим это число как $n_1 = 6$.

При броске второй игральной кости также возможно 6 исходов. Обозначим это число как $n_2 = 6$.

Поскольку результаты бросков двух костей являются независимыми событиями, общее количество элементарных событий (исходов) можно найти, используя правило умножения в комбинаторике. Каждому из 6 возможных исходов на первой кости может соответствовать любой из 6 исходов на второй кости.

Общее число элементов в пространстве элементарных событий $N$ равно произведению числа исходов для каждой кости:

$N = n_1 \times n_2 = 6 \times 6 = 36$

Этими элементами являются все возможные упорядоченные пары чисел $(x, y)$, где $x$ — результат на первой кости, а $y$ — результат на второй кости. Например: (1, 1), (1, 2), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (6, 6).

Ответ: 36

5.15. Три стрелка произвели по одному выстрелу по мишени.
Пусть $A$ – событие «первый стрелок попал в мишень»,
$B$ – событие «второй стрелок попал в мишень», $C$ – событие «третий стрелок поразил мишень». Известно, что первые два стрелка поразили мишень, а третий – промахнулся. Определите, наступило или не наступило событие:

1) $A + B \cdot \bar{C}$

2) $(A + B)\bar{C}$

3) $\bar{A}B + C$

4) $ABC$

5) $AB\bar{C}$

По условию задачи, первые два стрелка поразили мишень, а третий промахнулся. В терминах алгебры событий это означает, что событие $A$ («первый стрелок попал») наступило, событие $B$ («второй стрелок попал») наступило, а событие $C$ («третий стрелок попал») не наступило. Следовательно, противоположное событие $\bar{C}$ («третий стрелок промахнулся») наступило. Проверим каждое из предложенных сложных событий.

1) $A + B \cdot \bar{C}$ Это сложное событие представляет собой сумму двух событий: $A$ и $B \cdot \bar{C}$. Сумма событий наступает, если наступает хотя бы одно из слагаемых. Событие $A$ («первый стрелок попал») по условию наступило. Следовательно, всё событие $A + B \cdot \bar{C}$ наступило, независимо от того, наступило ли событие $B \cdot \bar{C}$. Ответ: наступило.

2) $(A + B)\bar{C}$ Это сложное событие представляет собой произведение двух событий: $(A + B)$ и $\bar{C}$. Произведение событий наступает только в том случае, если наступают все сомножители. Рассмотрим каждый сомножитель. Событие $(A + B)$ означает «попал первый или второй стрелок». Так как оба попали, это событие наступило. Событие $\bar{C}$ означает «третий стрелок промахнулся». По условию это событие также наступило. Поскольку оба сомножителя наступили, их произведение $(A + B)\bar{C}$ также наступило. Ответ: наступило.

3) $\bar{A}B + C$ Это сложное событие представляет собой сумму двух событий: $\bar{A}B$ и $C$. Сумма наступает, если наступает хотя бы одно из слагаемых. Событие $\bar{A}B$ означает «первый промахнулся и второй попал». Так как первый стрелок попал, событие $\bar{A}$ не наступило, а значит, и произведение $\bar{A}B$ не наступило. Событие $C$ («третий попал») по условию не наступило. Поскольку ни одно из слагаемых событий не наступило, их сумма $\bar{A}B + C$ не наступила. Ответ: не наступило.

4) $ABC$ Это событие является произведением событий $A$, $B$ и $C$ и означает, что «все три стрелка попали в мишень». По условию, третий стрелок промахнулся, то есть событие $C$ не наступило. Следовательно, произведение $ABC$ не могло наступить. Ответ: не наступило.

5) $AB\bar{C}$ Это событие является произведением событий $A$, $B$ и $\bar{C}$. Оно означает, что «первый попал, и второй попал, и третий промахнулся». По условию, событие $A$ наступило, событие $B$ наступило, и событие $\bar{C}$ (промах третьего) также наступило. Так как все три события-сомножителя наступили, их произведение $AB\bar{C}$ также наступило. Это событие в точности описывает исход стрельбы. Ответ: наступило.