Номер 5.12, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.12. A, B и C – данные случайные события. Выразите через A, B и C событие:

1) «наступило только событие А»: $A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

2) «наступили события А и В, а событие С не наступило»: $A \cap B \cap \overline{C}$

3) «все три события наступили»: $A \cap B \cap C$

4) «хотя бы одно из этих событий наступило»: $A \cup B \cup C$

5) «хотя бы 2 из этих событий наступили»: $(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$

6) «наступило только одно из этих событий»: $(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)$

7) «наступили только 2 из этих событий»: $(A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \cup (\overline{A} \cap B \cap C)$

8) «ни одно из этих событий не наступило»: $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

9) «наступило не более двух из этих событий»: $\overline{A \cap B \cap C}$

Для выражения сложных событий через основные события A, B и C используются операции алгебры событий:
• Сумма (объединение) событий $A+B$ (или $A \cup B$) означает, что наступило хотя бы одно из событий A или B.
• Произведение (пересечение) событий $AB$ (или $A \cap B$) означает, что наступили оба события A и B.
• Противоположное событие $\bar{A}$ означает, что событие A не наступило.

1) «наступило только событие A»
Это событие означает, что событие A произошло, но при этом события B и C не произошли. Ненаступление события B выражается как $\bar{B}$, а ненаступление C — как $\bar{C}$. Так как все эти условия должны выполниться одновременно, мы используем операцию произведения событий.
Ответ: $A\bar{B}\bar{C}$

2) «наступили события A и B, а событие C не наступило»
Данное событие требует одновременного наступления событий A и B и ненаступления события C. Это соответствует произведению событий A, B и $\bar{C}$.
Ответ: $AB\bar{C}$

3) «все три события наступили»
Это событие означает, что наступили и A, и B, и C. Это прямое произведение трех данных событий.
Ответ: $ABC$

4) «хотя бы одно из этих событий наступило»
Это событие означает, что наступило или A, или B, или C (или любая их комбинация). Это соответствует сумме (объединению) трех событий.
Ответ: $A+B+C$

5) «хотя бы 2 из этих событий наступили»
Это событие произойдет, если наступит любая из следующих комбинаций: (A и B), или (A и C), или (B и C). Сюда также входит случай, когда наступают все три события. Событие выражается как сумма произведений пар событий.
Ответ: $AB+AC+BC$

6) «наступило только одно из этих событий»
Это событие является суммой трех несовместных событий: «наступило только A», «наступило только B» и «наступило только C». Каждое из этих элементарных событий является произведением одного события и двух противоположных к остальным.
Ответ: $A\bar{B}\bar{C} + \bar{A}B\bar{C} + \bar{A}\bar{B}C$

7) «наступили только 2 из этих событий»
Это событие является суммой трех несовместных событий: «наступили A и B, но не C», «наступили A и C, но не B» и «наступили B и C, но не A».
Ответ: $AB\bar{C} + A\bar{B}C + \bar{A}BC$

8) «ни одно из этих событий не наступило»
Это событие означает, что не наступило событие A, и не наступило событие B, и не наступило событие C. Это произведение трех противоположных событий. Также это событие является противоположным событию «наступило хотя бы одно» (пункт 4).
Ответ: $\bar{A}\bar{B}\bar{C}$

9) «наступило не более двух из этих событий»
Это событие означает, что наступило 0, 1 или 2 события. Проще всего определить это событие как противоположное тому, при котором наступают все три события (пункт 3).
Ответ: $\overline{ABC}$