Номер 5.2, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.2. Пространство элементарных событий состоит из пяти элементов: $U=\{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\}$. Тогда из событий $A=\{A_1, A_2\}$, $B=\{A_3, A_4\}$, $C=\{A_4, A_5\}$, $D=\{A_1, A_3, A_5\}$ укажите:

1) попарно несовместные события;

2) все пары совместных событий;

3) для каждого из них запишите противоположные события.

Дано пространство элементарных событий $U=\{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\}$ и события:

$A=\{A_1, A_2\}$

$B=\{A_3, A_4\}$

$C=\{A_4, A_5\}$

$D=\{A_1, A_3, A_5\}$

1) попарно несовместные события;

Два события называются несовместными (или взаимно исключающими), если их пересечение является пустым множеством, то есть они не могут произойти одновременно. Математически это записывается как $X \cap Y = \emptyset$.

Проверим все возможные пары событий:

• Пара A и B: $A \cap B = \{A_1, A_2\} \cap \{A_3, A_4\} = \emptyset$. Эти события несовместны.
• Пара A и C: $A \cap C = \{A_1, A_2\} \cap \{A_4, A_5\} = \emptyset$. Эти события несовместны.
• Пара A и D: $A \cap D = \{A_1, A_2\} \cap \{A_1, A_3, A_5\} = \{A_1\}$. Так как пересечение не пусто, события совместны.
• Пара B и C: $B \cap C = \{A_3, A_4\} \cap \{A_4, A_5\} = \{A_4\}$. События совместны.
• Пара B и D: $B \cap D = \{A_3, A_4\} \cap \{A_1, A_3, A_5\} = \{A_3\}$. События совместны.
• Пара C и D: $C \cap D = \{A_4, A_5\} \cap \{A_1, A_3, A_5\} = \{A_5\}$. События совместны.

Ответ: Парами несовместных событий являются (A, B) и (A, C).

2) все пары совместных событий;

Два события называются совместными, если их пересечение не является пустым множеством ($X \cap Y \neq \emptyset$), то есть у них есть хотя бы один общий элементарный исход.

Из анализа в предыдущем пункте находим все пары с непустым пересечением:

• Пара A и D: $A \cap D = \{A_1\}$
• Пара B и C: $B \cap C = \{A_4\}$
• Пара B и D: $B \cap D = \{A_3\}$
• Пара C и D: $C \cap D = \{A_5\}$

Ответ: Парами совместных событий являются (A, D), (B, C), (B, D) и (C, D).

3) для каждого из них запишите противоположные события.

Противоположное событие $\bar{X}$ (читается "не X") к событию $X$ — это событие, которое состоит из всех элементарных исходов из пространства $U$, не входящих в $X$. Формула для нахождения: $\bar{X} = U \setminus X$.

• Для события A: $\bar{A} = U \setminus A = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\} \setminus \{A_1, A_2\} = \{A_3, A_4, A_5\}$.
• Для события B: $\bar{B} = U \setminus B = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\} \setminus \{A_3, A_4\} = \{A_1, A_2, A_5\}$.
• Для события C: $\bar{C} = U \setminus C = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\} \setminus \{A_4, A_5\} = \{A_1, A_2, A_3\}$.
• Для события D: $\bar{D} = U \setminus D = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\} \setminus \{A_1, A_3, A_5\} = \{A_2, A_4\}$.

Ответ:
Противоположное событие для A: $\bar{A} = \{A_3, A_4, A_5\}$.
Противоположное событие для B: $\bar{B} = \{A_1, A_2, A_5\}$.
Противоположное событие для C: $\bar{C} = \{A_1, A_2, A_3\}$.
Противоположное событие для D: $\bar{D} = \{A_2, A_4\}$.