Страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое благоприятствующие исходы и все возможные исходы испытания?

2. Как определяется вероятность события в пространстве равновозможных элементарных событий?

3. Сформулируйте определение частоты и относительной частоты события? Приведите пример.

4. Как определяют вероятность события с помощью относительной частоты? Как можно увеличить точность этой вероятности? Приведите пример.

5. Чему равны вероятности достоверного и невозможного событий?

6. В каких пределах заключена вероятность события?

7. Сформулируйте правило суммы несовместных событий и докажите его.

8. Сформулируйте правило произведения независимых событий и докажите его.

9. Сформулируйте и докажите обобщенное правило суммы.

10. Что такое условная вероятность? Приведите пример.

11. Сформулируйте и докажите обобщенное правило произведения.

1. Что такое благоприятствующие исходы и все возможные исходы испытания?

В теории вероятностей под испытанием понимают выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление.

Все возможные исходы (или пространство элементарных событий, обозначаемое $\Omega$) – это множество всех взаимоисключающих результатов, которые могут произойти в результате одного испытания. Никакие два исхода из этого множества не могут наступить одновременно, и в результате испытания обязательно наступает один из них.

Благоприятствующие исходы для некоторого события А – это те исходы из множества всех возможных исходов, наступление которых влечет за собой наступление события А. Другими словами, это подмножество пространства элементарных событий, которое соответствует интересующему нас событию.

Пример: Испытание – однократное подбрасывание игрального кубика.
Все возможные исходы: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Событие А: "выпало четное число очков".
Благоприятствующие событию А исходы: $\{2, 4, 6\}$.
Событие В: "выпало число очков, большее 4".
Благоприятствующие событию В исходы: $\{5, 6\}$.

Ответ: Все возможные исходы – это полный набор уникальных результатов испытания. Благоприятствующие исходы – это те результаты из полного набора, которые приводят к наступлению конкретного рассматриваемого события.

2. Как определяется вероятность события в пространстве равновозможных элементарных событий?

В пространстве, где все элементарные исходы испытания равновозможны (то есть имеют одинаковые шансы на осуществление), используется классическое определение вероятности.
Вероятность события А определяется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех возможных исходов.

Формула для вычисления вероятности:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где:
$P(A)$ – вероятность события А.
$m$ – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А.
$n$ – общее число всех равновозможных элементарных исходов испытания.

Пример: Найти вероятность того, что при броске игрального кубика выпадет число, кратное 3.
Общее число равновозможных исходов $n = 6$ (выпасть может 1, 2, 3, 4, 5 или 6).
Событие А – "выпало число, кратное 3". Благоприятствующими исходами являются 3 и 6, то есть их число $m = 2$.
Вероятность события А: $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу равновозможных исходов: $P(A) = m/n$.

3. Сформулируйте определение частоты и относительной частоты события? Приведите пример.

Частота события (или абсолютная частота) – это число, которое показывает, сколько раз данное событие А произошло в ходе реально проведенной серии из $n$ испытаний. Обозначается как $n_A$.

Относительная частота события – это отношение частоты события к общему числу проведенных испытаний. Она показывает долю тех испытаний, в которых событие произошло.

Формула для относительной частоты $W(A)$:

$W(A) = \frac{n_A}{n}$

где:
$n_A$ – частота события А (сколько раз оно наступило).
$n$ – общее число проведенных испытаний.

Пример: Проводится эксперимент по стрельбе по мишени. Всего сделано 150 выстрелов ($n = 150$). Из них 120 выстрелов оказались удачными (попадание в цель).
Пусть событие А – "попадание в цель".
Частота события А равна 120, то есть $n_A = 120$.
Относительная частота события А равна: $W(A) = \frac{120}{150} = \frac{4}{5} = 0.8$.

Ответ: Частота – это количество раз, когда событие произошло в серии испытаний. Относительная частота – это отношение частоты к общему числу испытаний, $W(A) = n_A/n$.

4. Как определяют вероятность события с помощью относительной частоты? Как можно увеличить точность этой вероятности? Приведите пример.

Определение вероятности через относительную частоту называется статистическим или частотным подходом. Согласно этому подходу, за вероятность события принимается число, около которого стабилизируется (колеблется) относительная частота этого события при неограниченном увеличении числа испытаний.

Математически это выражается через предел:

$P(A) = \lim_{n \to \infty} W(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{n_A}{n}$

На практике предел недостижим, поэтому в качестве приближенного значения вероятности берут относительную частоту, полученную в результате достаточно большой серии испытаний.

Увеличить точность этой оценки можно путем увеличения числа испытаний $n$. Согласно закону больших чисел, при увеличении количества экспериментов относительная частота события $W(A)$ сходится по вероятности к его истинной вероятности $P(A)$. Чем больше проведено испытаний, тем, как правило, ближе значение относительной частоты к теоретической вероятности.

Пример: Определим вероятность выпадения орла при подбрасывании несимметричной монеты.
1. Проведем 100 испытаний ($n=100$). Допустим, орёл выпал 45 раз ($n_A=45$). Оценка вероятности: $W(A) = \frac{45}{100} = 0.45$.
2. Для повышения точности проведем 10000 испытаний ($n=10000$). Допустим, орёл выпал 4850 раз ($n_A=4850$). Новая оценка вероятности: $W(A) = \frac{4850}{10000} = 0.485$.
Второе значение считается более точной оценкой истинной вероятности, так как оно получено на основе гораздо большего числа наблюдений.

Ответ: Вероятность события приближенно равна его относительной частоте в большой серии испытаний. Точность можно увеличить, проводя большее количество испытаний.

5. Чему равны вероятности достоверного и невозможного событий?

Достоверное событие (обозначается $\Omega$) – это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Для такого события число благоприятствующих исходов равно общему числу исходов ($m = n$). Его вероятность равна 1.

$P(\Omega) = \frac{n}{n} = 1$

Невозможное событие (обозначается $\emptyset$) – это событие, которое не может произойти в результате испытания ни при каких условиях. Для такого события нет благоприятствующих исходов ($m = 0$). Его вероятность равна 0.

$P(\emptyset) = \frac{0}{n} = 0$

Ответ: Вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного события равна 0.

6. В каких пределах заключена вероятность события?

Вероятность любого случайного события A всегда находится в пределах от 0 до 1 включительно. Это записывается в виде двойного неравенства:

$0 \le P(A) \le 1$

Это следует из классического определения вероятности $P(A) = m/n$. Число благоприятствующих исходов $m$ для любого события не может быть отрицательным ($m \ge 0$) и не может превышать общего числа исходов $n$ ($m \le n$). Таким образом, всегда выполняется неравенство $0 \le m \le n$. Разделив все части этого неравенства на положительное число $n$, получаем $0/n \le m/n \le n/n$, что и дает $0 \le P(A) \le 1$.
Значение 0 достигается для невозможного события, а значение 1 – для достоверного.

Ответ: Вероятность любого события $P(A)$ удовлетворяет неравенству $0 \le P(A) \le 1$.

7. Сформулируйте правило суммы несовместных событий и докажите его.

Формулировка: Вероятность появления одного из двух несовместных событий (неважно, какого именно) равна сумме вероятностей этих событий.
Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном испытании.

Если A и B – несовместные события, то правило суммы выглядит так:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Доказательство (для классической модели вероятности):
Пусть $n$ – общее число равновозможных элементарных исходов испытания.
Пусть $m_A$ – число исходов, благоприятствующих событию А.
Пусть $m_B$ – число исходов, благоприятствующих событию B.
По определению, $P(A) = m_A/n$ и $P(B) = m_B/n$.
Событие $A \cup B$ (наступает А или В) состоит из всех исходов, благоприятствующих либо А, либо B.
Поскольку события А и B несовместны, у них нет общих благоприятствующих исходов. Следовательно, общее число исходов, благоприятствующих событию $A \cup B$, равно сумме чисел исходов, благоприятствующих каждому из них: $m_{A \cup B} = m_A + m_B$.
Тогда вероятность события $A \cup B$ равна:
$P(A \cup B) = \frac{m_{A \cup B}}{n} = \frac{m_A + m_B}{n} = \frac{m_A}{n} + \frac{m_B}{n} = P(A) + P(B)$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

8. Сформулируйте правило произведения независимых событий и докажите его.

Формулировка: Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Два события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.

Если A и B – независимые события, то правило произведения выглядит так:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Доказательство (для схемы независимых испытаний):
Рассмотрим сложный эксперимент, состоящий из двух независимых испытаний.
В первом испытании возможно $n_1$ равновероятных исходов, из которых $m_1$ благоприятствуют событию A. Тогда $P(A) = m_1/n_1$.
Во втором испытании возможно $n_2$ равновероятных исходов, из которых $m_2$ благоприятствуют событию B. Тогда $P(B) = m_2/n_2$.
Общее число равновероятных исходов сложного эксперимента по комбинаторному правилу произведения равно $n = n_1 \cdot n_2$.
Событие $A \cap B$ (наступают и А, и В) означает, что в первом испытании наступил исход, благоприятствующий А, а во втором – исход, благоприятствующий В.
Число благоприятствующих такому составному событию исходов равно $m = m_1 \cdot m_2$.
Тогда вероятность события $A \cap B$ равна:
$P(A \cap B) = \frac{m}{n} = \frac{m_1 \cdot m_2}{n_1 \cdot n_2} = \frac{m_1}{n_1} \cdot \frac{m_2}{n_2} = P(A) \cdot P(B)$.
Что и требовалось доказать. (Стоит отметить, что в аксиоматике Колмогорова эта формула часто принимается за определение независимости).

Ответ: Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

9. Сформулируйте и докажите обобщенное правило суммы.

Формулировка: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий (то есть событий, которые могут произойти одновременно) равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления.

Для любых двух событий A и B формула имеет вид:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Доказательство (для классической модели вероятности):
Пусть $n$ – общее число равновозможных исходов.
Пусть $m_A$ – число исходов, благоприятствующих A, и $m_B$ – число исходов, благоприятствующих B.
Пусть $m_{A \cap B}$ – число исходов, благоприятствующих и А, и B одновременно (их пересечению).
Событие $A \cup B$ наступает, когда происходит исход, благоприятствующий А или B.
Если мы просто сложим $m_A + m_B$, то исходы, которые благоприятствуют обоим событиям одновременно (т.е. $m_{A \cap B}$), будут посчитаны дважды: один раз в составе $m_A$ и второй раз в составе $m_B$.
Чтобы исправить это, нужно вычесть число этих общих исходов один раз. Таким образом, число исходов, благоприятствующих $A \cup B$, равно:
$m_{A \cup B} = m_A + m_B - m_{A \cap B}$.
Теперь найдем вероятность, разделив на $n$:
$P(A \cup B) = \frac{m_{A \cup B}}{n} = \frac{m_A + m_B - m_{A \cap B}}{n} = \frac{m_A}{n} + \frac{m_B}{n} - \frac{m_{A \cap B}}{n}$.
Так как $P(A) = m_A/n$, $P(B) = m_B/n$ и $P(A \cap B) = m_{A \cap B}/n$, получаем:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного наступления: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

10. Что такое условная вероятность? Приведите пример.

Условная вероятность – это вероятность наступления события A при условии, что событие B уже произошло. Она показывает, как знание о том, что произошло событие B, изменяет наши представления о вероятности события A.

Обозначается как $P(A|B)$ и читается "вероятность А при условии В".
Условная вероятность определяется по формуле:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

где $P(A \cap B)$ – вероятность совместного наступления событий A и B, а $P(B)$ – вероятность события B (причем $P(B) > 0$).
Интуитивно, зная, что B произошло, мы сужаем пространство всех возможных исходов до исходов, составляющих событие B. Тогда благоприятствующими для A исходами будут только те, что лежат в этом новом, суженном пространстве, то есть в пересечении $A \cap B$.

Пример: В урне 5 белых и 3 черных шара. Из урны последовательно вынимают два шара без возвращения.
Пусть событие A – "второй шар белый", событие B – "первый шар белый".
Найдем условную вероятность $P(A|B)$, то есть вероятность того, что второй шар будет белым, при условии, что первый уже был белым.
Если первый вынутый шар был белым (событие B произошло), то в урне осталось 7 шаров: 4 белых и 3 черных.
Теперь вероятность вынуть вторым белый шар из этого нового состава шаров равна $4/7$.
Таким образом, $P(A|B) = 4/7$.
Можно проверить это по формуле. $P(B) = 5/8$. $P(A \cap B)$ (оба шара белые) $= (5/8) \cdot (4/7) = 20/56 = 5/14$.
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{5/14}{5/8} = \frac{5}{14} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

Ответ: Условная вероятность $P(A|B)$ – это вероятность события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло. Она находится по формуле $P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$.

11. Сформулируйте и докажите обобщенное правило произведения.

Формулировка: Вероятность совместного наступления двух событий (их произведения) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло.

Для любых двух событий A и B (зависимых или независимых) формула имеет вид:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

или, что эквивалентно:

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Доказательство:
Доказательство напрямую следует из определения условной вероятности.
Определение условной вероятности события B при условии A (при $P(A) > 0$):
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
Умножим обе части этого равенства на $P(A)$:
$P(A) \cdot P(B|A) = P(A \cap B)$.
Это доказывает первую формулу.
Аналогично, из определения условной вероятности события A при условии B (при $P(B) > 0$):
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Умножим обе части этого равенства на $P(B)$:
$P(B) \cdot P(A|B) = P(A \cap B)$.
Это доказывает вторую формулу.
Таким образом, обобщенное правило произведения является прямым следствием определения условной вероятности.

Ответ: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что первое произошло: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$.

Практическая работа

Полагая, что в вашем классе на следующем уроке математики к доске будут вызваны 2 ученика, найдите вероятность того, что это будут:

1) обе девушки;

2) оба юноши;

3) девушка и юноша.

Для решения этой задачи необходимо сделать предположение о составе класса, поскольку эти данные в условии отсутствуют. Предположим, что в классе учится $N=25$ человек, из которых $G=15$ девушек и $B=10$ юношей.

Общее число способов случайным образом выбрать 2 учеников из 25 равно числу сочетаний из $N$ по $k$ ($k=2$), которое вычисляется по формуле $C_N^k = \frac{N!}{k!(N-k)!}$.

Общее число исходов $n$ в нашем случае равно:

$n = C_{25}^2 = \frac{25!}{2!(25-2)!} = \frac{25 \times 24}{2 \times 1} = 300$.

Это общее число всех равновозможных элементарных исходов. Вероятность любого события $A$ будем находить по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов.

1) обе девушки;

Найдем число благоприятных исходов $m_1$ для события, когда оба вызванных ученика — девушки. Это число способов выбрать 2 девушек из 15:

$m_1 = C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$.

Теперь вычислим вероятность этого события:

$P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{105}{300} = \frac{21}{60} = \frac{7}{20} = 0.35$.

Ответ: $0.35$

2) оба юноши;

Найдем число благоприятных исходов $m_2$ для события, когда оба вызванных ученика — юноши. Это число способов выбрать 2 юношей из 10:

$m_2 = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

Вероятность этого события равна:

$P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{45}{300} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} = 0.15$.

Ответ: $0.15$

3) девушка и юноша.

Найдем число благоприятных исходов $m_3$ для события, когда вызовут одну девушку и одного юношу. По правилу произведения в комбинаторике, число способов выбрать 1 девушку из 15 и 1 юношу из 10 равно:

$m_3 = C_{15}^1 \times C_{10}^1 = 15 \times 10 = 150$.

Вероятность этого события равна:

$P_3 = \frac{m_3}{n} = \frac{150}{300} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Для справки: можно проверить, что сумма вероятностей всех трех возможных несовместных исходов (две девушки, два юноши, девушка и юноша) равна 1: $P_1 + P_2 + P_3 = 0.35 + 0.15 + 0.5 = 1$.

Ответ: $0.5$

5.24. Отдел технического контроля обнаружил 8 бракованных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованного изделия.

Частота изготовления бракованного изделия, также называемая относительной частотой, вычисляется как отношение количества бракованных изделий к общему количеству изделий в партии.

Обозначим:
$n$ — общее количество изделий в партии.
$m$ — количество бракованных изделий.
$W$ — искомая частота.

По условию задачи:
$n = 1000$
$m = 8$

Формула для расчета частоты:
$W = \frac{m}{n}$

Подставим числовые значения в формулу и выполним вычисление:
$W = \frac{8}{1000} = 0,008$

Ответ: 0,008