Страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.60. Техническое устройство состоит из трех независимо работающих блоков, которые могут выйти из строя соответственно с вероятностями 0,05; 0,03 и 0,04. Для того чтобы это устройство вышло из строя, достаточно неисправности одного из его блоков. Какова вероятность того, что установка выйдет из строя?

Пусть событие $A$ заключается в том, что техническое устройство выйдет из строя. По условию, это произойдет, если из строя выйдет хотя бы один из трех блоков.

Введем события:

$A_1$ – выход из строя первого блока, $P(A_1) = 0,05$.

$A_2$ – выход из строя второго блока, $P(A_2) = 0,03$.

$A_3$ – выход из строя третьего блока, $P(A_3) = 0,04$.

Удобнее вычислить вероятность противоположного события $\overline{A}$, которое заключается в том, что устройство работает исправно. Устройство работает исправно только тогда, когда все три блока работают исправно.

Найдем вероятности безотказной работы каждого блока. Обозначим их как $\overline{A_1}$, $\overline{A_2}$ и $\overline{A_3}$.

Вероятность безотказной работы первого блока:

$P(\overline{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,05 = 0,95$

Вероятность безотказной работы второго блока:

$P(\overline{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,03 = 0,97$

Вероятность безотказной работы третьего блока:

$P(\overline{A_3}) = 1 - P(A_3) = 1 - 0,04 = 0,96$

Так как блоки работают независимо, событие $\overline{A}$ (безотказная работа всего устройства) является произведением независимых событий $\overline{A_1}$, $\overline{A_2}$ и $\overline{A_3}$. Вероятность этого события равна произведению их вероятностей:

$P(\overline{A}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(\overline{A_3}) = 0,95 \cdot 0,97 \cdot 0,96$

$P(\overline{A}) = 0,9215 \cdot 0,96 = 0,88464$

Искомая вероятность $P(A)$ того, что устройство выйдет из строя, равна разности между единицей и вероятностью противоположного события $P(\overline{A})$:

$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0,88464 = 0,11536$

Ответ: 0,11536

5.61. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 одинаковых мелких кубиков, после чего эти кубики тщательно перемешаны. Какова вероятность того, что у наудачу взятого кубика количество окрашенных граней окажется равным:

1) одному;

2) двум;

3) трем?

Для решения задачи сначала определим, как устроен большой куб. Он распилен на 1000 одинаковых маленьких кубиков. Это означает, что он состоит из $n \times n \times n$ кубиков, где $n^3 = 1000$. Отсюда находим, что ребро большого куба состоит из $n = \sqrt[3]{1000} = 10$ маленьких кубиков. Общее число маленьких кубиков (и общее число элементарных исходов) составляет $N=1000$.

Маленькие кубики можно классифицировать по количеству окрашенных граней в зависимости от их расположения в большом кубе:

• 3 окрашенные грани: угловые кубики.
• 2 окрашенные грани: рёберные кубики (не угловые).
• 1 окрашенная грань: лицевые кубики (не на рёбрах).
• 0 окрашенных граней: внутренние кубики.

Визуализация расположения кубиков:

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

1)Найдем вероятность того, что у наудачу взятого кубика количество окрашенных граней окажется равным одному.

Кубики с одной окрашенной гранью — это те, которые находятся на гранях большого куба, но не на его рёбрах или в вершинах. У куба 6 граней. На каждой грани, представляющей собой квадрат $10 \times 10$ из маленьких кубиков, "внутренние" кубики образуют квадрат со стороной $(n-2) = (10-2) = 8$ кубиков.Число кубиков с одной окрашенной гранью на одной грани: $(n-2)^2 = 8^2 = 64$.Общее число кубиков с одной окрашенной гранью (число благоприятных исходов $m_1$):$m_1 = 6 \times (n-2)^2 = 6 \times 64 = 384$.Вероятность $P_1$ выбрать кубик с одной окрашенной гранью:$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{384}{1000} = 0.384$.
Ответ: 0,384

2)Найдем вероятность того, что у наудачу взятого кубика количество окрашенных граней окажется равным двум.

Кубики с двумя окрашенными гранями — это те, которые находятся на рёбрах большого куба, но не в его вершинах. У куба 12 рёбер. На каждом ребре, состоящем из $n=10$ кубиков, два крайних являются угловыми (3 окрашенные грани). Остальные $n-2 = 10-2 = 8$ кубиков на ребре имеют две окрашенные грани.Общее число кубиков с двумя окрашенными гранями (число благоприятных исходов $m_2$):$m_2 = 12 \times (n-2) = 12 \times 8 = 96$.Вероятность $P_2$ выбрать кубик с двумя окрашенными гранями:$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{96}{1000} = 0.096$.
Ответ: 0,096

3)Найдем вероятность того, что у наудачу взятого кубика количество окрашенных граней окажется равным трем.

Кубики с тремя окрашенными гранями — это угловые кубики. У любого куба 8 вершин, следовательно, таких кубиков всего 8.Число благоприятных исходов $m_3 = 8$.Вероятность $P_3$ выбрать кубик с тремя окрашенными гранями:$P_3 = \frac{m_3}{N} = \frac{8}{1000} = 0.008$.
Ответ: 0,008

5.62. Чтобы вывести из строя вражеский мост, достаточно одного точного попадания авиабомбой. В него были брошены две авиабомбы с вероятностями поражения цели, равными соответственно $0,6$ и $0,7$. Найдите вероятность того, что мост выйдет из строя.

Для решения задачи определим события и их вероятности.

Пусть событие $A$ заключается в том, что первая авиабомба попала в мост. Вероятность этого события по условию равна $P(A) = 0,6$.

Пусть событие $B$ заключается в том, что вторая авиабомба попала в мост. Вероятность этого события по условию равна $P(B) = 0,7$.

Попадания первой и второй бомб являются независимыми событиями. Мост будет выведен из строя, если произойдет хотя бы одно точное попадание. Это означает, что должно произойти либо событие $A$, либо событие $B$, либо оба события вместе. Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Через вероятность противоположного события

Противоположным событием к "мост будет выведен из строя" (хотя бы одно попадание) является событие "мост не будет выведен из строя" (ни одного попадания). Это произойдет только в том случае, если обе бомбы промахнутся.

Найдем вероятности промахов для каждой бомбы. Промах — это событие, противоположное попаданию.

Вероятность промаха первой бомбы: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4$.

Вероятность промаха второй бомбы: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Так как события независимы, вероятность того, что обе бомбы промахнутся, равна произведению вероятностей этих промахов:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$.

Искомая вероятность того, что мост выйдет из строя (произойдет хотя бы одно попадание), равна разности между единицей и вероятностью противоположного события (что обе бомбы промахнутся):

$P(\text{мост выйдет из строя}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,12 = 0,88$.

Способ 2: По формуле сложения вероятностей

Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из двух событий (то есть мост будет поражен), можно найти по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Здесь $P(A \cup B)$ — это вероятность того, что произойдет событие $A$ или событие $B$. $P(A \cap B)$ — это вероятность того, что произойдут оба события $A$ и $B$ одновременно (обе бомбы попадут в цель).

Поскольку события $A$ и $B$ независимы, вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,6 \times 0,7 = 0,42$.

Теперь подставим все значения в формулу сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 1,3 - 0,42 = 0,88$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 0,88

5.63. В результате четырех выстрелов стрелок поразил цель с вероятностью, равной 0,9984. С какой вероятностью он поразит цель при одном выстреле?

Пусть $p$ — искомая вероятность поражения цели при одном выстреле. Тогда вероятность промаха при одном выстреле равна $q = 1 - p$. Предполагается, что результаты выстрелов являются независимыми событиями.

Событие "стрелок поразил цель в результате четырех выстрелов" означает, что он попал в цель хотя бы один раз. Это событие является противоположным (дополнительным) к событию "стрелок промахнулся все четыре раза".

Вероятность промахнуться во всех четырех выстрелах равна произведению вероятностей каждого промаха: $P(\text{4 промаха}) = q \cdot q \cdot q \cdot q = q^4 = (1-p)^4$.

Вероятность поразить цель хотя бы один раз равна $1$ минус вероятность промахнуться все четыре раза. По условию задачи, эта вероятность составляет 0,9984. Составим и решим уравнение:

$1 - (1-p)^4 = 0.9984$

Выразим $(1-p)^4$:

$(1-p)^4 = 1 - 0.9984$

$(1-p)^4 = 0.0016$

Теперь извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения, чтобы найти $1-p$:

$1-p = \sqrt[4]{0.0016}$

Так как $0.2^4 = (0.2 \cdot 0.2) \cdot (0.2 \cdot 0.2) = 0.04 \cdot 0.04 = 0.0016$, то корень равен 0.2.

$1-p = 0.2$

Найдем $p$:

$p = 1 - 0.2$

$p = 0.8$

Таким образом, вероятность того, что стрелок поразит цель при одном выстреле, составляет 0,8.

Ответ: 0,8.

5.64. В электрическую цепь последовательно подключены три элемента, которые могут выйти из строя с вероятностью, соответственно равной 0,1; 0,15 и 0,2. С какой вероятностью эта цепь выйдет из строя?

Поскольку элементы в электрической цепи соединены последовательно, цепь выходит из строя в том случае, если выходит из строя хотя бы один из ее элементов.

Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что цепь выйдет из строя. Проще найти вероятность противоположного события $\bar{A}$, которое заключается в том, что цепь работает исправно. Для последовательного соединения цепь работает исправно тогда и только тогда, когда все три элемента работают исправно.

Обозначим вероятности выхода из строя (отказа) каждого элемента:

Вероятность отказа первого элемента: $p_1 = 0,1$.
Вероятность отказа второго элемента: $p_2 = 0,15$.
Вероятность отказа третьего элемента: $p_3 = 0,2$.

Тогда вероятности безотказной работы для каждого элемента (события, противоположные отказу) будут равны:

Вероятность безотказной работы первого элемента: $q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0,1 = 0,9$.
Вероятность безотказной работы второго элемента: $q_2 = 1 - p_2 = 1 - 0,15 = 0,85$.
Вероятность безотказной работы третьего элемента: $q_3 = 1 - p_3 = 1 - 0,2 = 0,8$.

Предполагая, что отказы элементов являются независимыми событиями, вероятность того, что все три элемента будут работать исправно (и, следовательно, вся цепь будет работать исправно), равна произведению вероятностей их безотказной работы:

$P(\bar{A}) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,9 \cdot 0,85 \cdot 0,8$

Выполним вычисления:

$P(\bar{A}) = 0,765 \cdot 0,8 = 0,612$

Итак, вероятность того, что цепь будет работать исправно, составляет $0,612$.

Искомая вероятность того, что цепь выйдет из строя, равна единице минус вероятность того, что она будет работать исправно:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,612 = 0,388$

Ответ: 0,388

5.65. В мешочке 4 белых и 2 красных альчика. Какова вероятность того, что наудачу извлеченные 2 альчика имеют различные цвета?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

Сначала определим общее количество альчиков в мешочке. Оно равно сумме белых и красных альчиков: $4 + 2 = 6$ альчиков.

Общее число возможных исходов $n$ — это количество способов извлечь $2$ альчика из $6$. Так как порядок извлечения не важен, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$, которая имеет вид $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=6$ и $k=2$, поэтому общее число исходов равно:

$n = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Итак, существует $15$ различных способов извлечь $2$ альчика из $6$.

Далее найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это когда извлеченные альчики имеют различные цвета, то есть один из них белый, а другой — красный.

Число способов выбрать $1$ белый альчик из $4$ имеющихся равно $C_4^1 = 4$.
Число способов выбрать $1$ красный альчик из $2$ имеющихся равно $C_2^1 = 2$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов извлечь $1$ белый и $1$ красный альчик равно произведению этих двух величин:

$m = C_4^1 \times C_2^1 = 4 \times 2 = 8$.

Таким образом, существует $8$ благоприятных исходов.

Теперь мы можем вычислить вероятность события (извлечения двух альчиков разных цветов), разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{8}{15}$.

Ответ: $\frac{8}{15}$

5.66. Из палочек длиной 2 см, 5 см, 6 см и 10 см наудачу извлекаются три палочки. Найдите вероятность того, что из выбранных палочек можно составить треугольник.

Для решения задачи по теории вероятностей необходимо определить общее число всех равновозможных исходов и число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию.

Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что из трех наудачу выбранных палочек можно составить треугольник.

В наборе 4 палочки с длинами 2 см, 5 см, 6 см и 10 см. Общее число $n$ способов выбрать 3 палочки из 4 равно числу сочетаний из 4 по 3, которое вычисляется по формуле:
$n = C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае $n=4$ и $k=3$:
$n = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.

Таким образом, существует 4 различных комбинации из трех палочек. Перечислим длины палочек в каждой комбинации (в см):
1. {2, 5, 6}
2. {2, 5, 10}
3. {2, 6, 10}
4. {5, 6, 10}

Теперь определим число благоприятных исходов $m$. Благоприятным исходом является выбор трех палочек, из которых можно составить треугольник. Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Для проверки достаточно убедиться, что сумма длин двух самых коротких сторон больше длины самой длинной стороны.

Проверим каждую комбинацию:
1. Для набора {2, 5, 6} самая длинная сторона равна 6. Проверяем: $2 + 5 = 7$. Так как $7 > 6$, треугольник составить можно. Это благоприятный исход.
2. Для набора {2, 5, 10} самая длинная сторона равна 10. Проверяем: $2 + 5 = 7$. Так как $7 < 10$, треугольник составить нельзя.
3. Для набора {2, 6, 10} самая длинная сторона равна 10. Проверяем: $2 + 6 = 8$. Так как $8 < 10$, треугольник составить нельзя.
4. Для набора {5, 6, 10} самая длинная сторона равна 10. Проверяем: $5 + 6 = 11$. Так как $11 > 10$, треугольник составить можно. Это благоприятный исход.

Итак, мы имеем 2 благоприятных исхода, то есть $m = 2$.

Вероятность события $A$ (из выбранных палочек можно составить треугольник) вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$.
Подставляя наши значения, получаем:
$P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$.
Ответ: $0.5$

5.67. Брошены 2 игральные кости, $n$ – сумма выпавших оч-ков. Что вероятнее: $n=7$ или $n=8$?

Чтобы определить, какое из событий вероятнее, нужно сравнить их вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

При бросании двух игральных костей общее число возможных исходов равно произведению числа граней на каждой кости: $6 \times 6 = 36$.

n=7

Найдем количество комбинаций, при которых сумма выпавших очков равна 7. Это следующие пары значений на первой и второй кости: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Всего существует 6 благоприятных исходов. Вероятность того, что сумма очков будет равна 7, составляет $P(n=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

n=8

Найдем количество комбинаций, при которых сумма выпавших очков равна 8. Это следующие пары: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2). Всего существует 5 благоприятных исходов. Вероятность того, что сумма очков будет равна 8, составляет $P(n=8) = \frac{5}{36}$.

Сравнивая полученные вероятности, видим, что $\frac{6}{36} > \frac{5}{36}$. Следовательно, выпадение суммы очков, равной 7, является более вероятным событием.

Ответ: Вероятнее, что сумма выпавших очков будет равна 7.

5.68*. Известно, что из всех сайгаков, обитающих в степях Сарыарки, 400 животных имеют клеймо. Из случайно отобранных для изучения 20 сайгаков 8 имели клеймо. Укажите приближенное количество сайгаков этого региона.

Для оценки общей численности популяции сайгаков можно воспользоваться методом пропорционального соотношения. Основное допущение этого метода заключается в том, что доля клейменых животных в случайной выборке является репрезентативной и примерно равна доле клейменых животных во всей популяции.

Введем следующие обозначения:

• $N$ – общее количество сайгаков в популяции (искомая величина).
• $M$ – количество клейменых сайгаков во всей популяции, по условию $M = 400$.
• $n$ – количество сайгаков в случайно отобранной выборке, по условию $n = 20$.
• $k$ – количество клейменых сайгаков в этой выборке, по условию $k = 8$.

Мы можем составить пропорцию, приравнивая отношение числа клейменых сайгаков к общему числу сайгаков в выборке и в общей популяции:

$\frac{k}{n} = \frac{M}{N}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$\frac{8}{20} = \frac{400}{N}$

Для того чтобы найти $N$, решим это уравнение. Сначала упростим дробь в левой части уравнения, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{8 \div 4}{20 \div 4} = \frac{2}{5}$

Теперь наша пропорция выглядит так:

$\frac{2}{5} = \frac{400}{N}$

Из этого соотношения выразим $N$. Можно использовать правило креста (перекрестное умножение):

$2 \cdot N = 5 \cdot 400$

$2N = 2000$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $N$:

$N = \frac{2000}{2}$

$N = 1000$

Следовательно, приблизительное количество сайгаков в этом регионе составляет 1000.

Ответ: 1000.