Номер 5.60, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.60. Техническое устройство состоит из трех независимо работающих блоков, которые могут выйти из строя соответственно с вероятностями 0,05; 0,03 и 0,04. Для того чтобы это устройство вышло из строя, достаточно неисправности одного из его блоков. Какова вероятность того, что установка выйдет из строя?

Пусть событие $A$ заключается в том, что техническое устройство выйдет из строя. По условию, это произойдет, если из строя выйдет хотя бы один из трех блоков.

Введем события:

$A_1$ – выход из строя первого блока, $P(A_1) = 0,05$.

$A_2$ – выход из строя второго блока, $P(A_2) = 0,03$.

$A_3$ – выход из строя третьего блока, $P(A_3) = 0,04$.

Удобнее вычислить вероятность противоположного события $\overline{A}$, которое заключается в том, что устройство работает исправно. Устройство работает исправно только тогда, когда все три блока работают исправно.

Найдем вероятности безотказной работы каждого блока. Обозначим их как $\overline{A_1}$, $\overline{A_2}$ и $\overline{A_3}$.

Вероятность безотказной работы первого блока:

$P(\overline{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,05 = 0,95$

Вероятность безотказной работы второго блока:

$P(\overline{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,03 = 0,97$

Вероятность безотказной работы третьего блока:

$P(\overline{A_3}) = 1 - P(A_3) = 1 - 0,04 = 0,96$

Так как блоки работают независимо, событие $\overline{A}$ (безотказная работа всего устройства) является произведением независимых событий $\overline{A_1}$, $\overline{A_2}$ и $\overline{A_3}$. Вероятность этого события равна произведению их вероятностей:

$P(\overline{A}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(\overline{A_3}) = 0,95 \cdot 0,97 \cdot 0,96$

$P(\overline{A}) = 0,9215 \cdot 0,96 = 0,88464$

Искомая вероятность $P(A)$ того, что устройство выйдет из строя, равна разности между единицей и вероятностью противоположного события $P(\overline{A})$:

$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0,88464 = 0,11536$

Ответ: 0,11536