Номер 5.56, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.56. Используя условие предыдущей задачи, через $A$ обозначим событие «сумма выпавших очков – нечетное число», а через $B$ – событие «по меньшей мере один раз выпало число 1».

Найдите вероятность события:

1) $A+B$;

2) $A \cdot B$;

3) $A \cdot \overline{B}$.

Поскольку в условии задачи упоминается «сумма выпавших очков», а сама задача отсылает к предыдущей (которая, как правило, в таких сборниках является стандартной задачей на бросание костей), будем считать, что эксперимент состоит в одновременном бросании двух стандартных игральных костей. Каждая кость имеет 6 граней с числами от 1 до 6.

Общее число элементарных исходов в этом эксперименте равно $N = 6 \times 6 = 36$. Все исходы равновероятны. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару чисел $(i, j)$, где $i$ — число очков на первой кости, а $j$ — на второй.

Событие A — «сумма выпавших очков — нечетное число». Сумма двух чисел нечетна тогда и только тогда, когда одно число четное, а другое — нечетное. На каждой кости 3 четных числа ({2, 4, 6}) и 3 нечетных ({1, 3, 5}).

Количество исходов, благоприятствующих событию A:
— первая кость нечетная, вторая четная: $3 \times 3 = 9$ исходов.
— первая кость четная, вторая нечетная: $3 \times 3 = 9$ исходов.
Итого, число исходов для A: $N(A) = 9 + 9 = 18$.
Вероятность события A: $P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

Событие B — «по меньшей мере один раз выпало число 1». Проще найти вероятность противоположного события $\bar{B}$ — «ни разу не выпало число 1». Для этого на каждой кости должно выпасть одно из 5 чисел ({2, 3, 4, 5, 6}).
Число исходов, благоприятствующих $\bar{B}$: $N(\bar{B}) = 5 \times 5 = 25$.
Вероятность $\bar{B}$: $P(\bar{B}) = \frac{25}{36}$.
Вероятность события B: $P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$.

Для дальнейших расчетов найдем вероятность пересечения событий A и B.
Событие $A \cdot B$ (пересечение $A \cap B$) означает, что сумма очков нечетная, и при этом хотя бы раз выпала единица. Это возможно, если на одной кости выпала 1 (нечетное), а на другой — четное число ({2, 4, 6}).
Благоприятствующие исходы: (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1).
Число таких исходов $N(A \cdot B) = 6$.
Вероятность события $A \cdot B$: $P(A \cdot B) = \frac{N(A \cdot B)}{N} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Теперь можем найти вероятности требуемых событий.

1) A+B;

Событие $A+B$ (объединение $A \cup B$) означает, что произошло хотя бы одно из событий A или B: либо сумма очков нечетная, либо выпала хотя бы одна единица. Вероятность суммы событий вычисляется по формуле:
$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$.
Подставим найденные значения:
$P(A+B) = \frac{18}{36} + \frac{11}{36} - \frac{6}{36} = \frac{18 + 11 - 6}{36} = \frac{23}{36}$.

Ответ: $ \frac{23}{36} $

2) A · B;

Событие $A \cdot B$ (пересечение $A \cap B$) означает, что произошли оба события A и B: сумма очков нечетная и при этом выпала хотя бы одна единица. Вероятность этого события была рассчитана ранее.
Вероятность события $A \cdot B$ равна:
$P(A \cdot B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $ \frac{1}{6} $

3) A · B̄;

Событие $A \cdot \bar{B}$ означает, что произошло событие A, но не произошло событие B: сумма очков нечетная, и при этом ни разу не выпала единица.
Поскольку события $A \cdot B$ и $A \cdot \bar{B}$ несовместны и в сумме дают событие A (то есть $A = (A \cdot B) + (A \cdot \bar{B})$), то их вероятности связаны соотношением $P(A) = P(A \cdot B) + P(A \cdot \bar{B})$.
Отсюда: $P(A \cdot \bar{B}) = P(A) - P(A \cdot B)$.
Подставим известные значения:
$P(A \cdot \bar{B}) = \frac{18}{36} - \frac{6}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $ \frac{1}{3} $