Номер 5.55, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.55. Игральная кость брошена дважды. Найдите вероятность того, что:

1) по крайней мере один раз выпавшее очко окажется меньше 3;

2) ровно один раз выпавшее очко окажется меньше 3.

При броске одной игральной кости возможно 6 равновероятных исходов (выпадение чисел от 1 до 6). При двух бросках общее число равновозможных элементарных исходов равно $N = 6 \times 6 = 36$.

Рассмотрим событие A = "при одном броске выпавшее очко меньше 3". Этому событию благоприятствуют исходы {1, 2}. Таких исходов 2. Вероятность этого события при одном броске: $p = P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Рассмотрим противоположное событие B = "при одном броске выпавшее очко не меньше 3" (то есть $\ge 3$). Этому событию благоприятствуют исходы {3, 4, 5, 6}. Таких исходов 4. Вероятность этого события при одном броске: $q = P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Заметим, что $p+q=1$.

1) по крайней мере один раз выпавшее очко окажется меньше 3

Событие "по крайней мере один раз выпавшее очко окажется меньше 3" является противоположным событию "оба раза выпавшее очко окажется не меньше 3". Найдем сначала вероятность этого противоположного события.
Поскольку броски кости являются независимыми событиями, вероятность того, что оба раза выпадет число очков не меньше 3, равна произведению вероятностей этого события для каждого броска: $P(\text{оба раза} \ge 3) = q \times q = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.
Тогда искомая вероятность равна разности между единицей и вероятностью противоположного события: $P(\text{хотя бы один раз} < 3) = 1 - P(\text{оба раза} \ge 3) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$

2) ровно один раз выпавшее очко окажется меньше 3

Это событие может произойти двумя несовместными способами:
1. При первом броске выпало меньше 3 очков (вероятность $p$), а при втором — 3 или больше (вероятность $q$).
2. При первом броске выпало 3 или больше очков (вероятность $q$), а при втором — меньше 3 (вероятность $p$).
Вероятность первого способа равна произведению вероятностей, так как броски независимы: $P_1 = p \times q = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$.
Вероятность второго способа также равна: $P_2 = q \times p = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.
Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух несовместных способов: $P = P_1 + P_2 = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$.
Этот же результат можно получить, используя формулу Бернулли для $k=1$ успеха в $n=2$ испытаниях: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$P_2(1) = C_2^1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^{2-1} = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$