Номер 5.61, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.61. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 одинаковых мелких кубиков, после чего эти кубики тщательно перемешаны. Какова вероятность того, что у наудачу взятого кубика количество окрашенных граней окажется равным:

1) одному;

2) двум;

3) трем?

Для решения задачи сначала определим, как устроен большой куб. Он распилен на 1000 одинаковых маленьких кубиков. Это означает, что он состоит из $n \times n \times n$ кубиков, где $n^3 = 1000$. Отсюда находим, что ребро большого куба состоит из $n = \sqrt[3]{1000} = 10$ маленьких кубиков. Общее число маленьких кубиков (и общее число элементарных исходов) составляет $N=1000$.

Маленькие кубики можно классифицировать по количеству окрашенных граней в зависимости от их расположения в большом кубе:

• 3 окрашенные грани: угловые кубики.
• 2 окрашенные грани: рёберные кубики (не угловые).
• 1 окрашенная грань: лицевые кубики (не на рёбрах).
• 0 окрашенных граней: внутренние кубики.

Визуализация расположения кубиков:

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

1)Найдем вероятность того, что у наудачу взятого кубика количество окрашенных граней окажется равным одному.

Кубики с одной окрашенной гранью — это те, которые находятся на гранях большого куба, но не на его рёбрах или в вершинах. У куба 6 граней. На каждой грани, представляющей собой квадрат $10 \times 10$ из маленьких кубиков, "внутренние" кубики образуют квадрат со стороной $(n-2) = (10-2) = 8$ кубиков.Число кубиков с одной окрашенной гранью на одной грани: $(n-2)^2 = 8^2 = 64$.Общее число кубиков с одной окрашенной гранью (число благоприятных исходов $m_1$):$m_1 = 6 \times (n-2)^2 = 6 \times 64 = 384$.Вероятность $P_1$ выбрать кубик с одной окрашенной гранью:$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{384}{1000} = 0.384$.
Ответ: 0,384

2)Найдем вероятность того, что у наудачу взятого кубика количество окрашенных граней окажется равным двум.

Кубики с двумя окрашенными гранями — это те, которые находятся на рёбрах большого куба, но не в его вершинах. У куба 12 рёбер. На каждом ребре, состоящем из $n=10$ кубиков, два крайних являются угловыми (3 окрашенные грани). Остальные $n-2 = 10-2 = 8$ кубиков на ребре имеют две окрашенные грани.Общее число кубиков с двумя окрашенными гранями (число благоприятных исходов $m_2$):$m_2 = 12 \times (n-2) = 12 \times 8 = 96$.Вероятность $P_2$ выбрать кубик с двумя окрашенными гранями:$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{96}{1000} = 0.096$.
Ответ: 0,096

3)Найдем вероятность того, что у наудачу взятого кубика количество окрашенных граней окажется равным трем.

Кубики с тремя окрашенными гранями — это угловые кубики. У любого куба 8 вершин, следовательно, таких кубиков всего 8.Число благоприятных исходов $m_3 = 8$.Вероятность $P_3$ выбрать кубик с тремя окрашенными гранями:$P_3 = \frac{m_3}{N} = \frac{8}{1000} = 0.008$.
Ответ: 0,008