Номер 5.66, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.66. Из палочек длиной 2 см, 5 см, 6 см и 10 см наудачу извлекаются три палочки. Найдите вероятность того, что из выбранных палочек можно составить треугольник.

Для решения задачи по теории вероятностей необходимо определить общее число всех равновозможных исходов и число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию.

Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что из трех наудачу выбранных палочек можно составить треугольник.

В наборе 4 палочки с длинами 2 см, 5 см, 6 см и 10 см. Общее число $n$ способов выбрать 3 палочки из 4 равно числу сочетаний из 4 по 3, которое вычисляется по формуле:
$n = C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае $n=4$ и $k=3$:
$n = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.

Таким образом, существует 4 различных комбинации из трех палочек. Перечислим длины палочек в каждой комбинации (в см):
1. {2, 5, 6}
2. {2, 5, 10}
3. {2, 6, 10}
4. {5, 6, 10}

Теперь определим число благоприятных исходов $m$. Благоприятным исходом является выбор трех палочек, из которых можно составить треугольник. Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Для проверки достаточно убедиться, что сумма длин двух самых коротких сторон больше длины самой длинной стороны.

Проверим каждую комбинацию:
1. Для набора {2, 5, 6} самая длинная сторона равна 6. Проверяем: $2 + 5 = 7$. Так как $7 > 6$, треугольник составить можно. Это благоприятный исход.
2. Для набора {2, 5, 10} самая длинная сторона равна 10. Проверяем: $2 + 5 = 7$. Так как $7 < 10$, треугольник составить нельзя.
3. Для набора {2, 6, 10} самая длинная сторона равна 10. Проверяем: $2 + 6 = 8$. Так как $8 < 10$, треугольник составить нельзя.
4. Для набора {5, 6, 10} самая длинная сторона равна 10. Проверяем: $5 + 6 = 11$. Так как $11 > 10$, треугольник составить можно. Это благоприятный исход.

Итак, мы имеем 2 благоприятных исхода, то есть $m = 2$.

Вероятность события $A$ (из выбранных палочек можно составить треугольник) вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$.
Подставляя наши значения, получаем:
$P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$.
Ответ: $0.5$