Номер 5.64, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.64. В электрическую цепь последовательно подключены три элемента, которые могут выйти из строя с вероятностью, соответственно равной 0,1; 0,15 и 0,2. С какой вероятностью эта цепь выйдет из строя?

Поскольку элементы в электрической цепи соединены последовательно, цепь выходит из строя в том случае, если выходит из строя хотя бы один из ее элементов.

Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что цепь выйдет из строя. Проще найти вероятность противоположного события $\bar{A}$, которое заключается в том, что цепь работает исправно. Для последовательного соединения цепь работает исправно тогда и только тогда, когда все три элемента работают исправно.

Обозначим вероятности выхода из строя (отказа) каждого элемента:

Вероятность отказа первого элемента: $p_1 = 0,1$.
Вероятность отказа второго элемента: $p_2 = 0,15$.
Вероятность отказа третьего элемента: $p_3 = 0,2$.

Тогда вероятности безотказной работы для каждого элемента (события, противоположные отказу) будут равны:

Вероятность безотказной работы первого элемента: $q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0,1 = 0,9$.
Вероятность безотказной работы второго элемента: $q_2 = 1 - p_2 = 1 - 0,15 = 0,85$.
Вероятность безотказной работы третьего элемента: $q_3 = 1 - p_3 = 1 - 0,2 = 0,8$.

Предполагая, что отказы элементов являются независимыми событиями, вероятность того, что все три элемента будут работать исправно (и, следовательно, вся цепь будет работать исправно), равна произведению вероятностей их безотказной работы:

$P(\bar{A}) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,9 \cdot 0,85 \cdot 0,8$

Выполним вычисления:

$P(\bar{A}) = 0,765 \cdot 0,8 = 0,612$

Итак, вероятность того, что цепь будет работать исправно, составляет $0,612$.

Искомая вероятность того, что цепь выйдет из строя, равна единице минус вероятность того, что она будет работать исправно:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,612 = 0,388$

Ответ: 0,388