Номер 5.57, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.57. На районной математической олимпиаде среди 9 классов 5 из 12 участников являются отличниками учебы. Какова вероятность того, что все три призера окажутся отличниками учебы? Здесь считается, что все 12 участников олимпиады имеют равные возможности.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Сначала найдем общее число всех возможных исходов ($N$). Это количество способов выбрать 3 призеров из 12 участников. Поскольку порядок, в котором выбирают призеров, не имеет значения, для расчета используем формулу числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=12$ (всего участников) и $k=3$ (число призеров).
$N = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.
Таким образом, существует 220 различных троек призеров.

Далее найдем число благоприятствующих исходов ($M$). Благоприятный исход — это событие, при котором все три призера являются отличниками. В олимпиаде участвуют 5 отличников, и нам нужно выбрать 3 из них. Расчет также ведется по формуле сочетаний, где $n=5$ и $k=3$.
$M = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Следовательно, существует 10 способов составить тройку призеров только из отличников.

Наконец, вычислим искомую вероятность ($P$) как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{M}{N} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$.

Ответ: $\frac{1}{22}$