Страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.54. Какова вероятность того, что наудачу взятое двузначное число при делении на 8 даст в остатке 1?

Для нахождения вероятности события воспользуемся классической формулой вероятности: $P = M/N$, где $N$ — общее число всех возможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Сначала определим общее число всех двузначных чисел. Двузначными являются целые числа от 10 до 99. Чтобы найти их количество, нужно из наибольшего двузначного числа вычесть наименьшее и прибавить единицу:

$N = 99 - 10 + 1 = 90$.

Таким образом, существует 90 двузначных чисел.

2. Теперь найдем количество двузначных чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 1. Такие числа можно представить в виде $8k + 1$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Нам нужно найти все такие числа, которые находятся в диапазоне от 10 до 99. Составим двойное неравенство:

$10 \le 8k + 1 \le 99$

Решим это неравенство относительно $k$. Сначала вычтем 1 из всех частей:

$9 \le 8k \le 98$

Теперь разделим все части на 8:

$9/8 \le k \le 98/8$

$1.125 \le k \le 12.25$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, его возможные значения — это $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$.

Чтобы найти количество этих значений, можно из последнего вычесть первое и прибавить единицу:

$M = 12 - 2 + 1 = 11$.

Итак, существует 11 двузначных чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 1.

3. Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P = M/N = 11/90$.

Ответ: $11/90$.

5.55. Игральная кость брошена дважды. Найдите вероятность того, что:

1) по крайней мере один раз выпавшее очко окажется меньше 3;

2) ровно один раз выпавшее очко окажется меньше 3.

При броске одной игральной кости возможно 6 равновероятных исходов (выпадение чисел от 1 до 6). При двух бросках общее число равновозможных элементарных исходов равно $N = 6 \times 6 = 36$.

Рассмотрим событие A = "при одном броске выпавшее очко меньше 3". Этому событию благоприятствуют исходы {1, 2}. Таких исходов 2. Вероятность этого события при одном броске: $p = P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Рассмотрим противоположное событие B = "при одном броске выпавшее очко не меньше 3" (то есть $\ge 3$). Этому событию благоприятствуют исходы {3, 4, 5, 6}. Таких исходов 4. Вероятность этого события при одном броске: $q = P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Заметим, что $p+q=1$.

1) по крайней мере один раз выпавшее очко окажется меньше 3

Событие "по крайней мере один раз выпавшее очко окажется меньше 3" является противоположным событию "оба раза выпавшее очко окажется не меньше 3". Найдем сначала вероятность этого противоположного события.
Поскольку броски кости являются независимыми событиями, вероятность того, что оба раза выпадет число очков не меньше 3, равна произведению вероятностей этого события для каждого броска: $P(\text{оба раза} \ge 3) = q \times q = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.
Тогда искомая вероятность равна разности между единицей и вероятностью противоположного события: $P(\text{хотя бы один раз} < 3) = 1 - P(\text{оба раза} \ge 3) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$

2) ровно один раз выпавшее очко окажется меньше 3

Это событие может произойти двумя несовместными способами:
1. При первом броске выпало меньше 3 очков (вероятность $p$), а при втором — 3 или больше (вероятность $q$).
2. При первом броске выпало 3 или больше очков (вероятность $q$), а при втором — меньше 3 (вероятность $p$).
Вероятность первого способа равна произведению вероятностей, так как броски независимы: $P_1 = p \times q = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$.
Вероятность второго способа также равна: $P_2 = q \times p = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.
Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух несовместных способов: $P = P_1 + P_2 = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$.
Этот же результат можно получить, используя формулу Бернулли для $k=1$ успеха в $n=2$ испытаниях: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$P_2(1) = C_2^1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^{2-1} = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$

5.56. Используя условие предыдущей задачи, через $A$ обозначим событие «сумма выпавших очков – нечетное число», а через $B$ – событие «по меньшей мере один раз выпало число 1».

Найдите вероятность события:

1) $A+B$;

2) $A \cdot B$;

3) $A \cdot \overline{B}$.

Поскольку в условии задачи упоминается «сумма выпавших очков», а сама задача отсылает к предыдущей (которая, как правило, в таких сборниках является стандартной задачей на бросание костей), будем считать, что эксперимент состоит в одновременном бросании двух стандартных игральных костей. Каждая кость имеет 6 граней с числами от 1 до 6.

Общее число элементарных исходов в этом эксперименте равно $N = 6 \times 6 = 36$. Все исходы равновероятны. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару чисел $(i, j)$, где $i$ — число очков на первой кости, а $j$ — на второй.

Событие A — «сумма выпавших очков — нечетное число». Сумма двух чисел нечетна тогда и только тогда, когда одно число четное, а другое — нечетное. На каждой кости 3 четных числа ({2, 4, 6}) и 3 нечетных ({1, 3, 5}).

Количество исходов, благоприятствующих событию A:
— первая кость нечетная, вторая четная: $3 \times 3 = 9$ исходов.
— первая кость четная, вторая нечетная: $3 \times 3 = 9$ исходов.
Итого, число исходов для A: $N(A) = 9 + 9 = 18$.
Вероятность события A: $P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

Событие B — «по меньшей мере один раз выпало число 1». Проще найти вероятность противоположного события $\bar{B}$ — «ни разу не выпало число 1». Для этого на каждой кости должно выпасть одно из 5 чисел ({2, 3, 4, 5, 6}).
Число исходов, благоприятствующих $\bar{B}$: $N(\bar{B}) = 5 \times 5 = 25$.
Вероятность $\bar{B}$: $P(\bar{B}) = \frac{25}{36}$.
Вероятность события B: $P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$.

Для дальнейших расчетов найдем вероятность пересечения событий A и B.
Событие $A \cdot B$ (пересечение $A \cap B$) означает, что сумма очков нечетная, и при этом хотя бы раз выпала единица. Это возможно, если на одной кости выпала 1 (нечетное), а на другой — четное число ({2, 4, 6}).
Благоприятствующие исходы: (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1).
Число таких исходов $N(A \cdot B) = 6$.
Вероятность события $A \cdot B$: $P(A \cdot B) = \frac{N(A \cdot B)}{N} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Теперь можем найти вероятности требуемых событий.

1) A+B;

Событие $A+B$ (объединение $A \cup B$) означает, что произошло хотя бы одно из событий A или B: либо сумма очков нечетная, либо выпала хотя бы одна единица. Вероятность суммы событий вычисляется по формуле:
$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$.
Подставим найденные значения:
$P(A+B) = \frac{18}{36} + \frac{11}{36} - \frac{6}{36} = \frac{18 + 11 - 6}{36} = \frac{23}{36}$.

Ответ: $ \frac{23}{36} $

2) A · B;

Событие $A \cdot B$ (пересечение $A \cap B$) означает, что произошли оба события A и B: сумма очков нечетная и при этом выпала хотя бы одна единица. Вероятность этого события была рассчитана ранее.
Вероятность события $A \cdot B$ равна:
$P(A \cdot B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $ \frac{1}{6} $

3) A · B̄;

Событие $A \cdot \bar{B}$ означает, что произошло событие A, но не произошло событие B: сумма очков нечетная, и при этом ни разу не выпала единица.
Поскольку события $A \cdot B$ и $A \cdot \bar{B}$ несовместны и в сумме дают событие A (то есть $A = (A \cdot B) + (A \cdot \bar{B})$), то их вероятности связаны соотношением $P(A) = P(A \cdot B) + P(A \cdot \bar{B})$.
Отсюда: $P(A \cdot \bar{B}) = P(A) - P(A \cdot B)$.
Подставим известные значения:
$P(A \cdot \bar{B}) = \frac{18}{36} - \frac{6}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $ \frac{1}{3} $

5.57. На районной математической олимпиаде среди 9 классов 5 из 12 участников являются отличниками учебы. Какова вероятность того, что все три призера окажутся отличниками учебы? Здесь считается, что все 12 участников олимпиады имеют равные возможности.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Сначала найдем общее число всех возможных исходов ($N$). Это количество способов выбрать 3 призеров из 12 участников. Поскольку порядок, в котором выбирают призеров, не имеет значения, для расчета используем формулу числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=12$ (всего участников) и $k=3$ (число призеров).
$N = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.
Таким образом, существует 220 различных троек призеров.

Далее найдем число благоприятствующих исходов ($M$). Благоприятный исход — это событие, при котором все три призера являются отличниками. В олимпиаде участвуют 5 отличников, и нам нужно выбрать 3 из них. Расчет также ведется по формуле сочетаний, где $n=5$ и $k=3$.
$M = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Следовательно, существует 10 способов составить тройку призеров только из отличников.

Наконец, вычислим искомую вероятность ($P$) как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{M}{N} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$.

Ответ: $\frac{1}{22}$

5.58. В учреждении имеются две установки, оповещающие о пожаре. В случае пожара первая установка может сработать с вероятностью 0,95, а вторая – с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что в случае пожара сработает только одна противопожарная установка?

Для решения данной задачи введем обозначения для событий.

Пусть событие $A$ заключается в том, что в случае пожара сработает первая установка.

Пусть событие $B$ заключается в том, что в случае пожара сработает вторая установка.

Согласно условию, вероятности этих событий равны:

$P(A) = 0,95$

$P(B) = 0,8$

Также нам понадобятся вероятности противоположных событий.

Событие $\bar{A}$ – первая установка не сработает. Его вероятность:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,95 = 0,05$

Событие $\bar{B}$ – вторая установка не сработает. Его вероятность:

$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Событие "сработает только одна противопожарная установка" представляет собой сумму двух несовместных событий:

1. Событие $C_1$: первая установка сработает, а вторая не сработает.

2. Событие $C_2$: первая установка не сработает, а вторая сработает.

Будем считать, что срабатывание установок – независимые события. Тогда вероятности событий $C_1$ и $C_2$ можно вычислить по формуле умножения вероятностей независимых событий.

Вероятность события $C_1$ (сработает только первая):

$P(C_1) = P(A \text{ и } \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) = 0,95 \cdot 0,2 = 0,19$

Вероятность события $C_2$ (сработает только вторая):

$P(C_2) = P(\bar{A} \text{ и } B) = P(\bar{A}) \cdot P(B) = 0,05 \cdot 0,8 = 0,04$

Искомая вероятность (обозначим ее $P(C)$) равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

$P(C) = P(C_1) + P(C_2) = 0,19 + 0,04 = 0,23$

Ответ: 0,23

5.59. Вероятность того, что в течение суток станок-автомат выйдет из строя равна 0,01. Какова вероятность того, что станок-автомат будет работать без остановки в течение двух суток?

Пусть событие $A$ заключается в том, что станок-автомат выйдет из строя в течение суток. По условию задачи, вероятность этого события равна $P(A) = 0.01$.

Нас интересует противоположное событие $\bar{A}$ – станок-автомат будет работать без остановок (исправно) в течение суток. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле:$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$P(\bar{A}) = 1 - 0.01 = 0.99$.

Для того чтобы станок-автомат работал без остановок в течение двух суток, необходимо, чтобы он работал исправно и в первые сутки, и во вторые сутки. Эти два события (исправная работа в первые сутки и исправная работа во вторые сутки) являются независимыми.

Вероятность того, что два независимых события произойдут одновременно, равна произведению их вероятностей.Пусть $P_2$ – это вероятность того, что станок будет работать без остановок в течение двух суток.

$P_2 = P(\bar{A}) \times P(\bar{A}) = 0.99 \times 0.99 = 0.99^2 = 0.9801$.

Ответ: $0.9801$.