Страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Рис. 5.6

5.88. Какова вероятность того, что случайно выбранная точка круга радиусом $R$ принадлежит:

1) квадрату;

2) правильному треугольнику;

3) прямоугольнику со стороной $2a$ ($0

4) равнобедренной трапеции с основаниями $2a$ и $2b$ ($0

Вероятность того, что случайно выбранная точка круга принадлежит некоторой фигуре, вписанной в этот круг, определяется как отношение площади этой фигуры к площади круга. Площадь круга радиусом $R$ равна $S_{круга} = \pi R^2$.

1) квадрату;

Пусть сторона вписанного квадрата равна $s$. Диагональ квадрата является диаметром круга, т.е. $d=2R$. По теореме Пифагора для квадрата $s^2 + s^2 = d^2$.

$2s^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Площадь квадрата $S_{квадрата} = s^2 = 2R^2$.

Искомая вероятность $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{S_{квадрата}}{S_{круга}} = \frac{2R^2}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi}$

Ответ: $\frac{2}{\pi}$

2) правильному треугольнику;

Площадь правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в круг радиусом $R$, можно найти, рассмотрев его как сумму трех равнобедренных треугольников с вершиной в центре круга. Каждый такой треугольник имеет две стороны, равные $R$, и угол между ними $120^\circ$.

Площадь одного такого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2}R \cdot R \sin(120^\circ) = \frac{1}{2}R^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь всего правильного треугольника $S_{треуг} = 3 \cdot S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$.

Искомая вероятность $P_2$ равна:

$P_2 = \frac{S_{треуг}}{S_{круга}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}{\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

3) прямоугольнику со стороной 2a (0<a<R);

Пусть одна сторона вписанного прямоугольника равна $s_1 = 2a$. Вторая сторона пусть будет $s_2$. Диагональ прямоугольника является диаметром круга, т.е. $d=2R$. По теореме Пифагора:

$s_1^2 + s_2^2 = d^2$

$(2a)^2 + s_2^2 = (2R)^2$

$4a^2 + s_2^2 = 4R^2$

$s_2^2 = 4R^2 - 4a^2 = 4(R^2 - a^2)$

$s_2 = 2\sqrt{R^2 - a^2}$

Площадь прямоугольника $S_{прямоуг} = s_1 \cdot s_2 = 2a \cdot 2\sqrt{R^2 - a^2} = 4a\sqrt{R^2 - a^2}$.

Искомая вероятность $P_3$ равна:

$P_3 = \frac{S_{прямоуг}}{S_{круга}} = \frac{4a\sqrt{R^2 - a^2}}{\pi R^2}$

Ответ: $\frac{4a\sqrt{R^2 - a^2}}{\pi R^2}$

4) равнобедренной трапеции с основаниями 2a и 2b (0<a<R, 0<b<R), вписанной в данный круг?

Рассмотрим равнобедренную трапецию, вписанную в круг. Ее основания — это две параллельные хорды длиной $2a$ и $2b$. Высота трапеции зависит от расположения оснований относительно центра круга.

Расстояние от центра круга до хорды длиной $2a$ можно найти из прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ и катетом $a$: $h_a = \sqrt{R^2 - a^2}$.

Аналогично, расстояние до хорды длиной $2b$: $h_b = \sqrt{R^2 - b^2}$.

Возможны два случая:

1. Основания находятся по разные стороны от центра круга. Тогда высота трапеции $h = h_a + h_b = \sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2}$. Это случай максимальной площади.
2. Основания находятся по одну сторону от центра. Тогда высота трапеции $h = |h_a - h_b| = |\sqrt{R^2 - a^2} - \sqrt{R^2 - b^2}|$.

Как правило, если не указано иное, рассматривается первый случай. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \cdot \text{высота}$.

$S_{трап} = \frac{2a + 2b}{2}(\sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2}) = (a+b)(\sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2})$

Искомая вероятность $P_4$ равна:

$P_4 = \frac{S_{трап}}{S_{круга}} = \frac{(a+b)(\sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2})}{\pi R^2}$

Ответ: $\frac{(a+b)(\sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2})}{\pi R^2}$

5.89. Даны два концентрических круга радиусами, равными 2 см и 4 см. В большем круге случайно отмечена точка. Какова вероятность того, что эта точка принадлежит:

1) малому кругу,

2) кольцу, ограниченному окружностями данных кругов?

Для решения задачи воспользуемся определением геометрической вероятности. Вероятность события равна отношению площади области, благоприятствующей событию, к площади всей области, в которой может находиться случайная точка.

Вся область, где может быть выбрана точка, — это большой круг. Обозначим его радиус $R = 4$ см. Площадь большого круга ($S_R$) вычисляется по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$: $S_R = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см$^2$.

Радиус малого круга составляет $r = 2$ см. Его площадь ($S_r$) равна: $S_r = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.

1) малому кругу

Событие заключается в том, что точка принадлежит малому кругу. Площадь благоприятствующей области — это площадь малого круга, $S_r = 4\pi$ см$^2$. Вероятность $P_1$ того, что случайно выбранная в большом круге точка окажется в малом, равна отношению их площадей: $P_1 = \frac{S_r}{S_R} = \frac{4\pi}{16\pi} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25$.

Ответ: 0,25.

2) кольцу, ограниченному окружностями данных кругов

Событие заключается в том, что точка принадлежит кольцу, образованному двумя окружностями. Площадь кольца ($S_{кольца}$) можно найти как разность площадей большого и малого кругов: $S_{кольца} = S_R - S_r = 16\pi - 4\pi = 12\pi$ см$^2$.

Вероятность $P_2$ того, что точка попадёт в это кольцо, равна отношению площади кольца к площади большого круга: $P_2 = \frac{S_{кольца}}{S_R} = \frac{12\pi}{16\pi} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Стоит отметить, что события "точка принадлежит малому кругу" и "точка принадлежит кольцу" являются взаимодополняющими в рамках большого круга (точка может находиться либо в малом круге, либо в кольце). Поэтому сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, можно было найти вторую вероятность через первую: $P_2 = 1 - P_1 = 1 - 0.25 = 0.75$.

Ответ: 0,75.

5.90. Последовательным соединением середин сторон данного квадрата получен 2-й, меньший квадрат, далее последовательным соединением середин сторон этого квадрата получен 3-й квадрат. Какова вероятность того, что случайно отмеченная точка внутри данного квадрата принадлежит:

1) 3-му квадрату;

2) частям 2-го квадрата, являющегося «внешностью» 3-го квадрата;

3) кругу, вписанному в третий квадрат?

Для решения этой задачи по геометрической вероятности мы будем находить отношение площади интересующей нас фигуры к площади самой большой фигуры (исходного квадрата). Вероятность $P$ попадания точки в некоторую область $A$ внутри области $B$ определяется как отношение их площадей: $P = S_A / S_B$.

Обозначим исходный квадрат как Квадрат 1, его сторону как $a$, а его площадь как $S_1 = a^2$.

Второй квадрат (Квадрат 2) получен соединением середин сторон Квадрата 1. Сторона Квадрата 2 равна $a_2 = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = a/\sqrt{2}$. Его площадь $S_2 = (a/\sqrt{2})^2 = a^2/2$. Таким образом, $S_2 = S_1 / 2$.

Третий квадрат (Квадрат 3) получен соединением середин сторон Квадрата 2. Аналогично, его площадь $S_3$ будет в два раза меньше площади $S_2$. $S_3 = S_2 / 2 = (S_1/2)/2 = S_1/4$. То есть, $S_3 = a^2/4$.

Теперь найдем вероятности для каждого случая.

1) 3-му квадрату;

Вероятность того, что случайно отмеченная точка принадлежит 3-му квадрату, равна отношению площади 3-го квадрата к площади 1-го (исходного) квадрата.

$P_1 = \frac{S_3}{S_1} = \frac{a^2/4}{a^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $1/4$

2) частям 2-го квадрата, являющегося «внешностью» 3-го квадрата;

Площадь интересующей нас области — это площадь 2-го квадрата за вычетом площади 3-го квадрата, который находится внутри него. Обозначим эту площадь $S_{2-3}$.

$S_{2-3} = S_2 - S_3 = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2 - a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$

Вероятность попадания точки в эту область равна:

$P_2 = \frac{S_{2-3}}{S_1} = \frac{a^2/4}{a^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $1/4$

3) кругу, вписанному в третий квадрат?

Сначала найдем площадь круга, вписанного в 3-й квадрат. Сторона 3-го квадрата $a_3 = \sqrt{S_3} = \sqrt{a^2/4} = a/2$.

Диаметр вписанного круга равен стороне квадрата, то есть $d = a_3 = a/2$. Радиус круга $r$ равен половине диаметра: $r = d/2 = (a/2)/2 = a/4$.

Площадь этого круга $S_{круг}$ равна:

$S_{круг} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{16}$

Вероятность того, что точка попадет в этот круг, равна:

$P_3 = \frac{S_{круг}}{S_1} = \frac{\pi a^2/16}{a^2} = \frac{\pi}{16}$

Ответ: $\pi/16$

5.91. Решите предыдущую задачу, взяв вместо квадрата равносторонний треугольник.

Поскольку условие задачи 5.91 («Решите предыдущую задачу, взяв вместо квадрата равносторонний треугольник») отсылает к предыдущей задаче, текст которой не предоставлен, мы будем исходить из наиболее вероятного и стандартного условия для такого типа задач. Предположим, что в предыдущей задаче требовалось найти центр масс фигуры, полученной из однородного квадрата со стороной $a$ после удаления из его угла меньшего квадрата со стороной $a/2$.

Соответственно, решаемая задача формулируется так: «Найти центр масс однородной пластины, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной $a$, из которого в одной из вершин вырезан меньший равносторонний треугольник со стороной $a/2$». Фигура, которая остается после вырезания, представляет собой равнобедренную трапецию.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом отрицательных масс (или принципом суперпозиции). Центр масс искомой фигуры можно найти, если рассмотреть ее как результат вычитания из большого треугольника (индекс 1) маленького треугольника (индекс 2).

Система координат и геометрия

Разместим большой равносторонний треугольник $ABC$ в системе координат $xOy$ так, чтобы его основание $BC$ лежало на оси $Ox$, а вершина $A$ — на оси $Oy$. Центр основания поместим в начало координат $O$. Сторона треугольника равна $a$.

Высота треугольника $ABC$ равна $h_1 = a \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Координаты вершин большого треугольника: $A(0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$, $B(-\frac{a}{2}, 0)$ и $C(\frac{a}{2}, 0)$.

Вырезанный треугольник $ADE$ имеет вершину в точке $A$. Его стороны $AD$ и $AE$ лежат на сторонах $AC$ и $AB$ соответственно, а сторона $DE$ параллельна основанию $BC$. Так как сторона вырезанного треугольника равна $a/2$, точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $AC$ и $AB$. Оставшаяся фигура — это трапеция $BCDE$.

Центр масс исходного треугольника

Центр масс $C_1$ однородного треугольника $ABC$ находится в точке пересечения его медиан (центроиде), на расстоянии $h_1/3$ от основания. В нашей системе координат $C_1$ имеет координаты:

$x_1 = 0$ (из-за симметрии)

$y_1 = \frac{h_1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Площадь треугольника $ABC$ равна $S_1 = \frac{1}{2} a h_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Если $\sigma$ — поверхностная плотность материала, то масса большого треугольника $M_1 = \sigma S_1$.

Центр масс вырезанного треугольника

Вырезанный треугольник $ADE$ является равносторонним со стороной $a/2$. Координаты его вершин: $A(0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$, $D(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4})$, $E(-\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4})$.

Центр масс $C_2$ треугольника $ADE$ — это среднее арифметическое координат его вершин:

$x_2 = \frac{0 + a/4 - a/4}{3} = 0$

$y_2 = \frac{1}{3} \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Площадь треугольника $ADE$ равна $S_2 = \frac{1}{4} S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}$. Масса вырезанного треугольника $M_2 = \sigma S_2 = \frac{1}{4} M_1$.

Центр масс оставшейся фигуры

Координаты центра масс $C_{rem}(x_c, y_c)$ оставшейся фигуры (трапеции $BCDE$) найдем из условия, что центр масс большого треугольника является центром масс системы, состоящей из оставшейся фигуры и вырезанного треугольника. В векторной форме:

$M_1 \cdot \vec{r_1} = M_{rem} \cdot \vec{r}_{rem} + M_2 \cdot \vec{r_2}$

Масса оставшейся фигуры $M_{rem} = M_1 - M_2 = M_1 - \frac{1}{4}M_1 = \frac{3}{4}M_1$.

Проецируя на оси координат:

Проекция на ось $Ox$: $M_1 x_1 = M_{rem} x_c + M_2 x_2$. Так как $x_1 = 0$ и $x_2 = 0$, то и $x_c = 0$, что очевидно из симметрии.

Проекция на ось $Oy$: $M_1 y_1 = M_{rem} y_c + M_2 y_2$.

Подставим массы: $M_1 y_1 = \frac{3}{4}M_1 y_c + \frac{1}{4}M_1 y_2$.

Сократив на $M_1$, получим: $y_1 = \frac{3}{4}y_c + \frac{1}{4}y_2$.

Выразим $y_c$: $\frac{3}{4}y_c = y_1 - \frac{1}{4}y_2 \implies y_c = \frac{4}{3} \left(y_1 - \frac{y_2}{4}\right)$.

Подставим известные значения координат $y_1 = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ и $y_2 = \frac{a\sqrt{3}}{3}$:

$y_c = \frac{4}{3} \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{4}{3} \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{a\sqrt{3}}{12}\right)$

$y_c = \frac{4}{3} \left(\frac{2a\sqrt{3} - a\sqrt{3}}{12}\right) = \frac{4}{3} \left(\frac{a\sqrt{3}}{12}\right) = \frac{4a\sqrt{3}}{36} = \frac{a\sqrt{3}}{9}$

Таким образом, центр масс оставшейся трапеции находится в точке $(0, \frac{a\sqrt{3}}{9})$. Это точка на оси симметрии трапеции на расстоянии $\frac{a\sqrt{3}}{9}$ от ее большего основания.

Ответ: Центр масс находится на оси симметрии фигуры на расстоянии $\frac{a\sqrt{3}}{9}$ от большего основания.

5.92. Круг разделен на 6 равных секторов, каждый из которых последовательно окрашен в красный, синий и желтый цвета. В этот круг, вращающийся вокруг центра, произвели один выстрел из пневматической винтовки. Какова вероятность того, что пуля попадет в сектор желтого цвета?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Определим общее число равновозможных исходов ($N$).
Круг разделен на 6 равных секторов. Так как секторы имеют одинаковую площадь, попадание пули в любой из них является равновозможным событием. Следовательно, общее число исходов $N=6$.

2. Определим число благоприятствующих исходов ($M$).
Благоприятствующим событием является попадание пули в сектор желтого цвета. Секторы окрашены последовательно в красный, синий и желтый цвета. Это означает, что окраска повторяется каждые три сектора:
Сектор 1: красный
Сектор 2: синий
Сектор 3: желтый
Сектор 4: красный
Сектор 5: синий
Сектор 6: желтый
Таким образом, в круге есть 2 сектора желтого цвета. Число благоприятствующих исходов $M=2$.

Ниже представлена схема расположения секторов:

3. Вычислим вероятность.
Вероятность $P$ попадания в желтый сектор вычисляется по формуле:
$P = \frac{M}{N}$
Подставляем наши значения:
$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Тот факт, что круг вращается, обеспечивает случайность попадания, но не меняет соотношение площадей секторов, поэтому он не влияет на результат.

Ответ: $\frac{1}{3}$

5.93. Прут длиной 1 м случайно переломился на две части. Нужно определить вероятность того, что длина каждой части прута не меньше, чем 30 см. Здесь следует считать, что прут может обломиться в любой точке с равными возможностями.

Для решения этой задачи воспользуемся методами геометрической вероятности.

1. Определение пространства элементарных исходов.
Длина прута составляет $L = 1$ м, что равно $100$ см. Прут может переломиться в любой точке. Обозначим координату точки излома как $x$, отсчитывая от одного из концов прута. Поскольку точка излома случайна и равновероятна по всей длине, $x$ является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке $[0, 100]$. Длина этого отрезка представляет собой меру всех возможных исходов: $L_{всего} = 100 - 0 = 100$ см.

2. Определение благоприятных исходов.
Когда прут ломается в точке $x$, образуются две части. Длина первой части равна $x$, а длина второй — $100 - x$. Согласно условию задачи, длина каждой части должна быть не меньше, чем 30 см. Запишем это в виде системы неравенств: $ \begin{cases} x \ge 30 \\ 100 - x \ge 30 \end{cases} $

Решим эту систему:
Из первого неравенства имеем $x \ge 30$.
Из второго неравенства получаем $100 - 30 \ge x$, то есть $x \le 70$.
Таким образом, чтобы условие выполнялось, точка излома $x$ должна находиться в интервале $[30, 70]$. Этот интервал является множеством благоприятных исходов.

Длина этого благоприятного интервала составляет $L_{благопр} = 70 - 30 = 40$ см.

Наглядно это можно представить на схеме:

3. Расчет вероятности.
Вероятность события $A$ (длина каждой части не меньше 30 см) определяется как отношение длины благоприятного интервала к длине всего интервала возможных исходов:
$P(A) = \frac{L_{благопр}}{L_{всего}} = \frac{40 \text{ см}}{100 \text{ см}} = 0.4$

Ответ: 0.4