Номер 5.89, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.89. Даны два концентрических круга радиусами, равными 2 см и 4 см. В большем круге случайно отмечена точка. Какова вероятность того, что эта точка принадлежит:

1) малому кругу,

2) кольцу, ограниченному окружностями данных кругов?

Для решения задачи воспользуемся определением геометрической вероятности. Вероятность события равна отношению площади области, благоприятствующей событию, к площади всей области, в которой может находиться случайная точка.

Вся область, где может быть выбрана точка, — это большой круг. Обозначим его радиус $R = 4$ см. Площадь большого круга ($S_R$) вычисляется по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$: $S_R = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см$^2$.

Радиус малого круга составляет $r = 2$ см. Его площадь ($S_r$) равна: $S_r = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.

1) малому кругу

Событие заключается в том, что точка принадлежит малому кругу. Площадь благоприятствующей области — это площадь малого круга, $S_r = 4\pi$ см$^2$. Вероятность $P_1$ того, что случайно выбранная в большом круге точка окажется в малом, равна отношению их площадей: $P_1 = \frac{S_r}{S_R} = \frac{4\pi}{16\pi} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25$.

Ответ: 0,25.

2) кольцу, ограниченному окружностями данных кругов

Событие заключается в том, что точка принадлежит кольцу, образованному двумя окружностями. Площадь кольца ($S_{кольца}$) можно найти как разность площадей большого и малого кругов: $S_{кольца} = S_R - S_r = 16\pi - 4\pi = 12\pi$ см$^2$.

Вероятность $P_2$ того, что точка попадёт в это кольцо, равна отношению площади кольца к площади большого круга: $P_2 = \frac{S_{кольца}}{S_R} = \frac{12\pi}{16\pi} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Стоит отметить, что события "точка принадлежит малому кругу" и "точка принадлежит кольцу" являются взаимодополняющими в рамках большого круга (точка может находиться либо в малом круге, либо в кольце). Поэтому сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, можно было найти вторую вероятность через первую: $P_2 = 1 - P_1 = 1 - 0.25 = 0.75$.

Ответ: 0,75.